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1、1问题的假设与符号定义1.1问题的假设: 1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3每个系别的每个人被选举都是等可能的；4每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；5 在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.1.2符号的定义：n-表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；p-表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；q-表示总席位数；N-表示总的席位人数. Q-表示某单位的值.3问题的分析通常人们都是按照人数比例来
2、进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论： 4模型建立 目标:建立公平的席位分配方案.4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:设A,B两方人数分别为；分别占有 和个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为 和 .我们称 为.例： 则； 又 则由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值. 若 则称 为对A的相对不公平值, 记为 ；若 则称 为对B的相对不公平值 ,记为 .4.2给出相对公平的席位分配方案:如果两方分别占有和席,利用相对不公平值和讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设,
3、即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：I .当时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应给A方.II.当时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对不公平值为: （3）III.当时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为: （4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果 （5）则这1席给A方,反之这1席给B方.由(3)(4)可知,(5)等价于 （6）不难证明上述的第I种情况也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.若记:则增加的1席给Q值大的一方.4.3模型内部推广:上述方法可
4、以推广到有方分配席位的情况.设第方人数为,已占有个席位.当总席位增加1席时,计算:则增加的1席应分配给Q值大的一方.这种席位分配的方法称为Q值法.5模型求解5.1下面用Q值法讨论甲，乙，丙系分配20个席位的问题：先按照比例将整数部分的10席分配完毕n1=10, n2=6, n3=3,.再用Q值法分配第20席和第21席；分配第20席,计算得:Q1=96.4;Q2=94.5;Q3=96.3Q1最大,于是这1席应分给甲系.分配第21席,计算得:Q1=80.4;Q2=94.5;Q3=96.3;Q3最大,于是这1席应分给丙系.5.2现象分析及结果：根据Q值分配结果与假定情况一的现象,易得出:惯例分配总席位为21时,分配不公平,以至得出总席位数N增加一个,丙的席位数反而减少了一个的错误结论.6 模型评价我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算.改进后的Q值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.
