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1、3.3 力矩转动定律,寻求类似于牛顿定律、确定刚体在外力矩作用下运动状态发生变化的规律转动定律。,1 .对固定点的力矩,这种情况相当于质点绕固定点O 转动的情形, 可用上面公式.,2 .对固定转轴的力矩,（1）力垂直于转轴,（2）力与转轴不垂直,可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量.,平行于转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零.,大小：,方向：沿转轴方向.,（一）刚体定轴转动的力矩,(3) 若刚体受N个外力作用，,(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质元上的元力矩，再对所有元力矩求和,(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴
2、的分量, 下同.,注意:,(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即内力矩之和总是为零。,O,例1：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。,解：摩擦力沿杆连续分布，杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同。,细杆的质量密度,质元的质量,质元受摩擦阻力矩：,细杆受的阻力矩：,方向沿 -z 轴,如图建立坐标系，分割质元。,例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在平面内以角速度转动，求摩擦力产生的力矩。,解：,取细圆环为质元,(二）转动定律,要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运
3、动状态发生变化的规律转动定律。,质点系的角动量定理：,问题归结为确定刚体的角动量。,质点的牛顿运动定律：,应用于刚体 = 转动定律,1. 定轴转动刚体的角动量,(a) 质点对点的角动量,作圆周运动质点的角动量 L rmv,(b) 定轴转动刚体的角动量,在以角速度作定轴转动的刚体内, 取质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为,刚体的总角动量，应为组成刚体的所有质元的角动量的矢量和。由于刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向(沿转轴方向)，因此,矢量式：,2. 转动定律,质点系的角动量定理：,应用于定轴转动刚体：,刚体的转动定律：,刚体的角动量：,比较：质点的牛顿运动定律,(二）
4、转动定律另一推导（由牛顿第二定律导出）,刚体可看成是由许多小质元组成，在p点取一质元 ，,受力：外力 ，与 成 角,合内力 ，与 成 角,只考虑外力与合内力均在转动平面内的情形。,对 mi 应用牛顿第二定律：,用 左叉乘1）式,-2）,将2）式对整个刚体求和,刚体的转动定律,-2）,说明：,4) 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。,3）转动定律是瞬时对应关系；,1) 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）,5）转动定律说明了I 是物体转动惯性大小的量度。因为：,即I 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I 越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转
5、动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,纸风车,电风扇,怎么解释？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,飞轮是一种惯性装置，是连接在曲轴上的一个盘状的构件，它依靠较大的转动惯性来维持发动机的平稳转动。,竿子长些还是短些较安全？,例1: 一质量为 m1 的物体绕在一半径为 r 质量为 m2 的圆盘上, 开始时静止, 求重物的加速度、绳中的张力和 t 时刻重物下降多高? (绳的质量与轴上的磨擦力不计).,已知: m1 、m2、r,求：a、T、h,解：取刚体顺时针转动、m1 向下运动为正方向.,隔离物体，分析受力,列方程：, +,m1g - T=
6、m1a.(1),Tr=I (2),a = r (3),a = r =,由(2)式:,代入(1)式:,所以:,a = r,注意: a等于常数且初速为零!,所以:,例2. 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：(1) 棒在任意位置时的重力矩; (2)棒在任意位置时的角加速度和角速度.,LC为质心到转轴的距离,可见：刚体的重力矩等于重力集中于刚体质心处的力矩,例3. 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r=2r，质量 m = 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直
7、于盘面的光滑水平固定轴o 转动。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为 m 的物体A 和 B，这一系统从静止开始运动, 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知 r =10cm. (1)证明组合轮的转动惯量 I = 9mr2/ 2 ；(2) 求组合轮的角加速度；(3) 求物体 A 上升h=0.4m 时，组合轮的角速度。,解：,(1) 组合轮的转动惯量,(2) 求组合轮的角加速度,设q 为组合轮转过的角度，则,(3) 求物体 A 上升h=0.4m 时，组合轮的角速度。,解:,取任一状态,由转动定律,例4. 一长为 l, 质量为m 的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链O 相连, 并可绕其转动
8、. 当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链 O 转动. 试计算细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和角速度.,受力分析: 细杆受重力mg 和铰链对细杆的约束力FN 作用,初始条件为：=0，=0,例5. 一静止刚体受到一等于M0的不变力矩的作用, 同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比, 即| M1 |= a, (a为常数)。已知刚体对转轴的转动惯量为 I , 试求刚体角速度变化的规律。,已知：,M0，,M1= a，,I，,|t=0=0,求：（t）=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,I,解：,4）列方程：,分离变量：,求：,受力分析：,例6. 质量分别为 m1、m2 的物体，通过轻绳挂在质量为m3半径为 r 的圆盘形滑轮上。求物体 m1 、m2 运动的加速度以及绳子的张力T1, T2（绳子质量不计）。,已知：,建立轴的正向：取滑轮逆时针转动为力矩的正方向,m1,m2,列方程：,解上面5个方程，得：,
