动量矩定理课件.ppt

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1、第十一章 动量矩定理Theorem of Angular Momentum Law of Moment of Momentum,问题的提出：,图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有,可见：,动量只能反映刚体随质心运动的强弱，不能反映刚体绕质心转动运动强弱。,本章基本内容：,1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算；,2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理；,3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。,4. 转动惯量概念及计算。,11 1 动量矩(moment of momentum, Angular Momentum),一、质点的动量矩,对点的动量矩,力对点O之矩

2、：,质点的动量对点O之矩,（11-1）, 质点的动量对O点的动量矩, 固定矢量,指向：按右手法则确定,几何表示：, 度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量,对轴的动量矩,类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：,质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：,质点的动量 mv 对 x 轴之矩 代数量。,其正负由右手法则确定。,动 量 矩 单位（SI）：,二、质点系的动量矩,对点O 的动量矩,质点系各质点的动量对某点O 之矩的矢量和 质点系对O 点 的 动 量 矩,对轴的动量矩,质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和 质点系对某轴的动量矩,三、定轴转动刚体对转轴的动量矩,取质点Mi :,质点Mi 对转轴 z

3、的动量矩:,刚体 对转轴 z 的动量矩:,记:,（11-15）, 称为刚体对转轴z的转动惯量,（11-16）,定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。,11 2 转动惯量(Mass Moment of Inertia),刚体各质点的质量与它们到转轴 z 垂直距离的平方的乘积之和,一、转动惯量的基本概念, 称为刚体对转轴 z 的转动惯量,转动惯量 Jz 的特点：,Jz 0, 恒正的标量,影响 Jz 的因素：,与转轴 z 的位置有关；,与质量 mi 的分布有关；,改变 Jz 的方法：,1. 改变质量（密度）；,2. 改变质量分布情况。,物体转动运动惯性的度

4、量.,Jz 的单位（SI）：,转动惯量改变的一个实例,二、转动惯量的计算,1. 积分法,由定义：,可得, 适用于质量连续分布，几何形状简单的物体。,若已知密度函数：,则有,常见规则形状的均质物体，转轴过质心 C 的 Jz 由有关工程手册查得。,均质杆：,均质圆盘（轮）：,（11-19）,2. 组合法, 代数和,如：, 适用于均质、简单形状组合的物体,3. 实验测定法, 适用于任意不规则形状，质量分布不均匀的物体。, 复摆测定法；, 落体观测法。（物理实验）,4. 转动惯量的工程实用计算公式,(11-17), m为刚体的质量；z 为回转半径Radius of gyration 。,注意：, z

5、相当长度。,（假想将刚体的质量全部集中离转轴距离z 的质点上，而此质点对轴 z 的转动惯量 Jz 与原刚体对轴 z 的转动惯量 Jz 相同。）, 其中 m 、Jz 由计算或实验测定，然后反算z 。,（注意： z 并不是质心 C 到转轴的距离）,三、转动惯量的平行轴定理,设 z 轴过刚体的质心C，z与z轴平行，两轴间的距离为 h ，由转动惯量的定义，有,将,代入，有,由质心坐标的计算公式，有,(11-20), 转动惯量的平行轴定理,几点说明：, 轴 z 与轴z 必须平行；, z 轴必须过质心 C ；, 过质心 C 的转动惯量最小。,均质杆，质量 m,如：,均质圆盘，质量 m,Theorem of

6、 Angular Momentum,Sample Problem 1,mass of lever : m1mass of plate: m2 In this initial time, angular velocity equals w, compute angular momentum about axis pass through point O perpendicular to the surface.,solution,mass of the homogeneous plate with yellow color: mr=R/3Compute JA,Theorem of Angular

7、 Momentum,Sample Problem 2,solution,11 3 质点的动量矩定理,一、对固定点的动量矩定理, 质点动量对某固定点O 的矩,将上式两边对时间求导，有,由于O点为固定点，r 为绝对运动矢径，有,另一方面由质点的动量定理：,将上述关系代入，有,（11-7）,质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定点的矩。, 质点对固定点的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,（11-7）,将上式两边同时向坐标轴投影，有,（11-8）,质点的动量对任一固定轴的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定轴的矩。, 质点对 固定轴 的动量矩定理,三、动量矩守恒定

8、理(Conservation of Moment of Momentum),（1）若：,（11-9）,质点的动量对该固定点的矩矢保持不变。,质点运动轨迹为平面曲线；,质点的矢径单位时间内扫过的面积相等，质点运动轨迹为椭圆。,有心力：,力的作用线始终过某一固定点，该点称为力心。,有心力作用下的质点，对力心的动量矩矢始终保持不变（大小、方向）。,三、动量矩守恒定理(Conservation of Moment of Momentum),（2）若：,（11-10）,若作用于质点的力对某固定点（或轴）的矩恒等于零，则质点的动量对该固定点（或轴）的矩保持不变。, 动量矩守恒定理,11 4 质点系的动量矩

9、定理,一、对固定点的动量矩定理,质点系：n个质点,质点 Mi ：, 外力, 内力,由质点对固定点的动量矩定理，有,简写成：,n个方程,将上述方程组两边相加,得：,考虑到：,有：,（11-11）,（内力系的主矩恒等于零）,质点系对任一固定点的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定点矩的矢量和（主矩）。 质点系对固定点的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,将式（11-11）向固定坐标轴投影，得,（11-12）,质点系对任一固定轴的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定轴矩的代数和（主矩）。 质点系对固定轴的动量矩定理,注：,与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩,三

10、、质点系动量矩守恒,（1）若：,（11-13）,（2）若：,（11-14）,（各力与z轴平行或相交）, 质点系动量矩守恒定理,四、应用,（1）有关转动运动的动力学问题,转动碰撞问题；,流体对叶轮的冲击力矩计算。,（2）动量矩守恒时，求刚体的转动角速度或速度等,注：,定理中各运动量均为绝对运动量。,例3：,两个转子A和B分别以角速度A 、 B 绕同一轴线 Ox 、且同方向转动，转动惯量分别为 JA 和 JB ，现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。,解：,两转子 A、B ,受力：, 质点系对 x 轴的动量矩守恒,计算结合前后系统对轴 x 的动量矩：,结合前：,结合后：,由

11、 质点系对 x 轴的动量矩守恒，有,（这里假定 与A 、B 转向相同）,例4：,均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J ，可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为 m2 的人由 B 点按规律 沿距 O 轴半径为 r 的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。,解：,圆盘与人一起 研究对象,受力分析：,动量矩关于 z 轴守恒,计算质点系的动量矩：,初始时：,任意瞬时：,负号说明实际转向与图中相反,例 题 5,求：此时系统的角速度,例 题 6,均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。,求：重物下落的加速度,解：取系

12、统为研究对象,应用动量矩定理:,Mass of the Chain Wheel: MMass of the Block A and B: m1 m2 suppose m1 m2Compute the acceleration of block A,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 7,solutionanalyze the forces and kinematics of the system, as the figure shown:,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 7,solution

13、,例8：,高炉上运送矿料的卷扬机。半径为 R 的卷筒可绕水平轴O 转动，它关于转轴 O 的转动惯量为 J 。沿倾角为 的斜轨被提升的重物A 重 W 。作用在卷筒上主动转矩为 M 。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。,解：,(1) 研究对象 卷筒与重物A 整个系统,(2) 受力：（所有外力）,(3) 分析运动，计算系统对轴O的动量矩：, 以顺时针方向为正,(4) 外力对轴O 的矩：,对重物A，有,(5) 代入动量矩定理：,方向与速度方向相同,例 题 9,水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和 2，水的体积流量为qV、

14、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2 ，叶轮水平放置。 求：水流对叶轮的驱动力矩。,解：在 dt 时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：,重力 由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；,相邻水流的压力 忽略不计；,叶轮的反作用力矩 与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。,应用动量矩定理:,115 刚体定轴转动微分方程,设定轴转动刚体作用有力：F1、F2、Fn，转动角速度：，转动惯量：Jz ，其绕轴的动量矩, 其转向与 相同,代入动量矩定理，有,（11-21a）,（11-21b）,（11-21c）, 刚体定轴转动微分方程,（转动定理）

15、,刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和。,讨论：,（1）方程建立了与 Mz 的瞬时关系,（须在任意瞬时建立方程）,（2）, 匀变速转动, 匀速转动, 角速度 取极值,（3）,则有, 此时 取决于Jz,Jz 大, 小, 说明转动运动状态不易改变,Jz 小, 大, 说明转动运动状态容易改变, 惯性大, 惯性小,Jz 是刚体转动运动惯性的度量,应用：,（1）已知外力矩 Mz ，求、 、 = (t) 。,（2）已知、 、 = (t) ，求与力矩 Mz 有关的量（力、距离等）。,注意事项：,（1）不能求轴承反力；,（须由质心运动定理求）,（2）方程两边、 、

16、 与力矩 Mz 正转向规定一致；,（3）只适用于同一轴转动的刚体。（一般适用于单个定轴转动刚体）,例10：,复摆compound pendulum（物理摆 physical pendulum）如图。已知摆的重量为P，摆关于转轴O 的转动惯量为 JO ，悬挂点（轴）O 到质心的距离为 a ，求：复摆作微幅摆动时的运动规律。,解：,复摆 ,运动分析：,任意瞬时 OC 与x轴的夹角为,（注： 以增大方向为正转向）,建立定轴转动微分方程，并求解,（1）,两边同除以 JO ，并整理得,（2）,当作微幅摆动（ 很小）时，,（3）,其解为：,（4）,式中：,常数 A、 由初始条件确定。,摆动周期：,（5）,

17、讨论：, 转动惯量的复摆测定法原理,注意：,方程两边正转向规定必须一致。,例 题 11,求： 制动所需的时间。,已知： JO ， 0，FN ，f 。,解：取飞轮为研究对象,解得:,例12：,高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为 R，重量为G 。沿倾角为 的斜轨被提升的重物A 重 W 。作用在卷筒上主动转矩为 M 。斜面与重物间摩擦因素为，绳重可不计。试求重物的加速度。,解：,(1) 研究对象 卷筒O,（1）,(2) 研究对象 重物A,（2）,（3）,（4）,(3) 运动学关系：,（5）,联立求解，得,如何求轴承反力？,需对卷筒用质心运动定理。,讨论：,例 题 13,已知： J1 ， J2 ，

18、 R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 ， M1 ， M2 。,求： 轴的角加速度。,解：分别取轴和为研究对象,解得：,例14：,转子对自身转轴的转动惯量为J1=1kg m2，转子对其转轴的转动惯量为J2 = 1.5kgm2，两轴的齿数之比 k = z1/z2 =1/2，如图所示。设转子上作用有转矩为 M 的力偶，使转子自静止开始匀加速转动，经过10 s 转速达n1=1500 r/min 。已知轴上齿轮的节圆半径为 r1 =100mm，轴承摩擦不计。试计算转矩 M 和齿轮的圆周力Ft 。,解：,运动分析：, 转向与 M 相同,（1）,轴,外啮合，1 与 2 转向相反, 两边都以逆时针

19、为正,（2）, 两边都以顺时针为正,由传动比概念，有,轴,利用：,联立求解（1）（2）得,几点注意：,（1）对每一轴分别列方程；,（2）方程两边正转向规定一致；,（3） 1 与 2 转向协调。,例15：,图示系统。均质圆轮 A ：质量 m1 ，半径 r1，以角速度绕轴A 转动；均质圆轮 B：质量 m2，半径 r2，绕轴 B 转动，初始静止；现将轮 A 放置在轮 B 上，问自A轮放在 B 轮上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间。设两轮间的摩擦因素为 ，略去轴承摩擦和杆OA 的质量。,解：,假设两轮的角加速度分别为：,转向如图,轮A ,（1）,（2）,（3）,求解得,任意瞬时角速度：,轮B ,（

20、4）,（5）,（6）,无相对滑动的条件：,将式（4）（6）代入得：,（4）,其中：,解除约束前： FOx=0,FOy=mg/2,突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？, 关于突然解除约束问题,例 16,突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时， 0， 0。需要先求出 ，再确定约束力。,应用定轴转动微分方程,应用质心运动定理, 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。,突然解除约束问题的特点, 系统的自由度一般会增加；,例17：,均质圆盘，质量为 m ，半径为R ，不计轴承摩擦，图示位置，OB 处于水平。现将绳子 BD 突然切断，求：切断瞬时轴

21、承 O 处的反力。,解：,分析：,需先求圆盘角速度 与角加速度：,质心的加速度：,再求轴承反力。,圆盘 ,列写定轴转动微分方程：,切断瞬时圆盘的角速度为：,质心的加速度：, 以顺时针为正,代入质心运动定理：,实际方向与图中相反,11-6 质点系相对于质心的动量矩定理,由质心坐标公式，有,一、质点系对质心的动量矩计算,11-6 质点系相对于质心的动量矩定理,二、质点系对质心的动量矩定理,质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是质点系相对于质心(平移系)的动量矩定理。,例18 均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l3r，绕

22、轴O转动的角速度为w、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩： (a) 圆盘与杆固结；(b) 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w 逆 时针方向转动； (c) 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w 顺 时针方向转动。,解：(a) 圆盘与杆固结,解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w 逆 时针方向转动,刚体的平面运动可以分解为随质心（以质心为基点）的平动和绕质心的转动。,先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来：,(b),(c),11-7 刚体的平面运动微分方程,由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：,刚体平面运动微分方程,例 题 19,已知： m ，R, f ， 。,就下列各种情况分析圆盘的运动

23、和受力。,(a) 斜面光滑,解：取圆轮为研究对象,圆盘作平动,(b) 斜面足够粗糙,由 得：,满足纯滚的条件：,(c) 斜面介于上述两者之间,圆盘既滚又滑,例 题 20,平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动。 求平板的加速度。,解：取圆轮和板为研究对象,对板：,对圆轮：,已知： m1 , m2 , R, f , F 。求： 板的加速度。,例21 均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。 求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。,解：

24、取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有,其中,取B分析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有,由运动学关系aDraA,，而由加速度合成定理有,D,例22 均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。,解：以杆AB为研究对象，分析受力。,杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为a。,由刚体平面运动微分方程,以C点为基点，则A点的加速度为,再以C点为基点，则B点的加速度为,注： 亦可由坐标法求出(4)、(5)式：,运动开始时， ，故,例23

25、如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为j 。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。,解：取杆分析，建立如图坐标。有,AB作平面运动，以A为基点，则,j,j,A,B,将上式投影到x 轴上，得,例24 长 l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。,解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。 AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得,C,B,A,F,BC作平面运动，取B为基点，则,将以上矢量式投影到水平方向，得,(4),由(1) (4)联立解得,对BC由刚体平面运动的微分方程得,(2),(3),例25 行星齿轮机构的曲柄 OO1受力矩 M 作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮 O1在固定水平齿轮 O 上滚动如图所示。设曲柄 OO1为均质杆，长l、重 P；齿轮 O1为均质圆盘，半径 r 、重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。,解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程,M,由运动学关系，有,联立求解(1) (4)，得,取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动,Thank you！,