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1、,3-1 位移分量和应变分量 两者的关系,3-2 物体内无限邻近两点位置的变化 转动分量,第三章 应变状态理论,3-3 转轴时应变分量的变换,3-4 主应变 应变张量不变量,3-5 应变协调方程,3-6 应力和应变的关系,物体经过位移后，由于内部各点的位移不相同，除刚体位移外，其大小和形状会发生改变-称为变形,在外力作用下物体内部各质点上的空间位置会发生改变-产生位移,2、建立几何方程和应变协调方程,1、分析一点的应变状态,应变状态理论,3-1位移分量和应变分量 两者的关系,位移分量均为单值连续函数，且假定其具有三阶连续偏导数,轴向(纵向)应变：,g：切应变,我们从物体中取出x方向上长dx的线
2、段PA，变形后为PA，P点的位移为(u,v)，A点x方向的位移为,y方向上的位移为,dx,dx,PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的，因此PA正应变为,PA的转角为,dx,dx,我们从物体中取出y方向上长dy的线段PB，变形后为PB，B点y方向的位移为,x方向上的位移为,PB的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的，因此PB正应变为,线段PA的转角是,线段PB的转角是,于是，直角APB的改变量为,A,有时用张量分量,P,A,B,这样，平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变、y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化切应力来描述，称为应变分量。,同样，空间一点的变形我们用该点x、
3、y、z方向上的正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化切应变来描述。,张量形式为,空间的应变分量共九个分量，是一个对称张量，和应力张量一样，它们遵从坐标变换规则，同样存在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时，角度不变，由主平面组成的单元体，由正方体变为直角长方体。在主方向构成的坐标系中，张量分量构成对角阵，切应变分量为零。,3-2 物体内无限邻近两点位置的变化 转动分量,物体内无限邻近两点A和B，坐标分别为（x、y、z）和 （x+dx、y+dy、z+dz）,变形后至A和B 点，则两点的位移矢量的三个分量为：,A点：,B点
4、：,按Tayior展开，得：,引入转动矢量,由,、q、r表示单元体的刚性转角,与A点无限接近的B点的位移由三部分组成：,用矩阵表示：,-应变张量,3-3 转轴时应变分量的变换,一方向为（l，m，n）的微分线段AB，其长度为r， A点的坐标（x，y，z）, B点的坐标（x+rl，y+rm，z+rn）,推导得：,可写成：,表明：如知物体内某点的6个应变分量，即可求得过该点的任一方向微分线段的相对伸长值。,过同一点的微分线段AB和AC，其长度分别为r1和r2 ， 方向分别为(l1 ,m1 , n1)和(l2 ,m2 , n2)，研究变形后其夹角的改变,可推导得出转轴时应变分量的变换公式,可写成：,3
5、-4 主应变 应变张量不变量,物体内存在3个互相垂直的方向，在这3个方向的微分线段，在物体变形后仍保持垂直。此方向称为应变主方向，该方向上微分线段的相对伸长，称为主应变。,由于主方向的线段在变形后仍保持垂直，故在变形中，其单元体只有刚体转动，据此，可得主应变和主应变方向所应满足的方程：,其中：,-应变张量的第一不变量（体积应变）,-应变张量的第二不变量,-应变张量的第三不变量,可得3 个实根，分别代表三个主应变，用1、2、3表示,主应变的几个重要性质：,1、如123，即方程无重根，则应变主方向必相互垂直。,2、如1=23，方程有两重根，则3方向必同时垂直于1、2 的方向，而1和2的方向可以垂直
6、，也可以不垂直；即与3垂直的任何方向都是主方向。,3、如1=2=3，方程有三重根，则3个方向可以垂直，也可以不垂直；即任何方向都是主方向。,解：1、三个应变张量不变量：,2、由特征方程得：,2、分别代入下列方程中,得：,及,3-5 应变协调方程,将二、三式分别对z,y求二阶导数再相加，得,类似可以得到另外两个方程,将右边后三式分别对x,y,z求导,后两式相加减去第一式，再对x求导，得,类似可以得到另外两个方程,综合得：,-应变协调方程（圣维南方程）,3-6 应力和应变的关系,张量形式为,应力应变的物理关系 在线弹性力学中，应力应变的物理关系成线性的广义胡克关系，对于各向同性材料，其中，只有两个弹性常数.,当坐标系为主方向时，切应力为零，切应变也为零，公式简化为,上三式相加可得到：,其中,分别为体积应变和体积应力。,如果用应变来表示应力，有下列关系：,其中,称为拉密常数。,张量形式为,其矩阵形式为= D,注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表达式不再成立，具有更多的弹性常数。,其中,
