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1、第三章应变分析,31 位移与应变、几何方程32 一点应变状态、应变张量33体积应变34应变球张量和应变偏量35应变协调方程,第三章应变分析,31 位移与应变几何方程,由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就会产生位移。,一、位移,第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。,第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。,两种位移：,M（x，y，z）移动至M（x，y，z）,在数学上，x，y
2、，z必为x，y，z的单值连续函数,u = x- x = u（x，y，z）v = y- y = v（x，y，z）w = z- z = w（x，y，z）,位移函数具有三阶连续导数,二、应变,对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。,一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化（剪）切应变 ,符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负,32 位移与应变的关系几何方程,m点的坐标为( x，y）a点的坐标为( x+dx，y）b点的坐标为 ( x，y+dy）,变形前：,变形后：,m点的坐标为( x+u，y+v）a 点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量
3、）b 点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）,则，a点的位移为：,b点的位移为：,同理：,上式为正应变的几何方程,同理：,上式为剪应变的几何方程,这六式为几何方程（柯西方程）,四、转角方程,33 一点应变状态、应变张量,一、应变张量,与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量,二、应变坐标转换式,新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦,同应力转换一样，得到：,三、主应变及应变张量不变量,34体积应变,单元体的体积：,变形后，体积：,则，体积应变：,34应变球张量和应变偏量,平均应变,应变球张量,应变偏张量,可得应变偏量的三个不变量：,当取坐标轴为应变主轴时有：,35应变协调方程,首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式分别对x和y求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得,若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则,上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程圣维南（SaintVenant）方程。,
