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1、,第三章 数学基础齐次坐标和齐次变换,知识点：,点的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,3.1 引言, 人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学建模问题（建模） 机器人的运动学正逆关系问题即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系（求解）,机器人运动学问题,运动学正逆求解问题,Where is my hand?,Direct Kinemati
2、csHERE!,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics: Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,3.2 位置和姿态的描述,一、位置描述 对于直角坐标系A，空间内任一点P的位置可有31的列向量 （或位置向量）,二、方位（姿态）描述 为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系B与此刚体固接。则用B的三个单位主矢量 相对坐标系A的方向余弦组成的33矩阵 来表示刚体B相对于A的方位， 称为方位阵（姿态阵，或旋转阵）,中有9个元素，而只有3个是独立的，因为 的3个列向量 都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9个元素
3、满足6个约束条件（称正交条件）：,以及3个方向条件：,且有,三、位姿描述 刚体位姿（即位置和姿态），用刚体的方位矩阵和刚体坐标系的原点位置矢量来表示，即,3.3 点的齐次坐标,式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，a= , b= , c= ，w为比例系数,显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1 。,列矩阵,例：,可以表示为： V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12 -16 -20 -4T,齐次坐标与三维直角坐标的区别,V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的
4、（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。,几个特定意义的齐次坐标：,0, 0, 0, nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴,2个常用的公式：,3.4 坐标变换3.4.1 坐标平移,设坐标系B与A具有相同的方位，但B的坐标原点与A的不重合，用位置矢量 描述B的原点相对于A的位置，把 称为B相对于A的平移矢量，如果点P在B中的位置为 ，则它相对A的位置矢量 可由矢量相加得到：,3.4.2 坐标旋转,设坐标系B与A具有共同的坐标原
5、点，但二者方位不同，用旋转矩阵 描述B的相对于A的方位，如果点P在B中的位置为 ，则它相对A的位置矢量 则有：,3.4.3 复合变换,一般情况下，坐标系B与A原点既不重合，方位也不相同，现用位置矢量 描述B的原点相对于A的位置，用旋转矩阵 描述B的相对于A的方位，如果点P在B中的位置为 ，则它相对A的位置矢量 则有：,3.5 齐次坐标变换3.5.1 齐次变换,写成齐次形式,理解：1）是A和B两个坐标系下点或方位齐次坐标的线性映射，一旦这两个坐标系之间的位姿关系确定，它也就确定了。2）是B坐标系相对A坐标系的位姿矩阵。,3.5.2 平移齐次坐标变换,注意：平移矩阵间可以交换， 平移和旋转矩阵间不
6、可以交换,3.5.3 旋转齐次坐标变换,三个基本旋转矩阵,即动坐标系 求 旋转矩阵，也就是求出坐标系Ouvw中各轴单位矢量 在固定坐标系Oxyz中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：,Ouvw绕OX轴转动 角,由图2-5可知， 在y轴上的投影为 ， 在z轴上的投影为 , 在y轴上的投影为 ， 在z轴上的投影为 ，所以有：,方向余弦阵,同理：,三个基本旋转矩阵:,旋转齐次坐标变换,3.5.4 物体的位姿描述,一般情况下，物体B在参考系A中的位姿可表示为：,3.5.5 齐次变换矩阵的相乘,对于给定的坐标系B、A和C，现用齐次变换矩阵 来表示B相对于A的位姿描述，用齐次变换矩阵 来表示C相对于B
7、的位姿描述，则空间任一点P在三个坐标系中的齐次坐标有：,这样变换矩阵 也可解释为是坐标系的变换： 和 分别代表同一坐标系C相对于A和B的描述，则 表示坐标系C从 映射为 的变换。 变换矩阵 还可解释为：坐标系C相对A的描述是这样得到的，最初C与A重合，首先相对于A作运动 ，到达B，然后相对B作运动 ，到达最终位置C。,3.5.6 齐次坐标的逆变换,已知B相对于A的变换: 求 A相对于 B的变换：,例1：在动坐标中 有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做如下运动： R（x, 90）； R(z, 90)； R(y,90)。求该点在固定参考坐标系 下的位置。,解1：用画图的简单方法,3.5.7 绝对变
8、换和相对变换,1. 绝对变换,解2：用分步计算的方法, Rot（x, 90）, Rot（z, 90）, Rot（y, 90）,（3-1）,（3-2）,（3-3）,上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（3-1）（3-2）（3-3）联写为如下形式：,Rot为二者之间的关系矩阵，我们令：,小结： 当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换,例2：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动：Rot(Z,90) Rot（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵,解1：用
9、画图的方法：,2. 相对变换,解2：用计算的方法,我们有：,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：,例3：先平移Trans (4,-3,7)；绕当前 轴转动90； 绕当前 轴转动90；求合成旋转矩阵。,（3-4）,解1：用画图的方法,解2：用计算的方法,（3-5）,式（3-4）和式（3-5）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。,也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。,
