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1、第三章 杆件的应力与强度计算,Mechanics of Materials,材料力学,3-1 引言3-2 拉（压）杆的应力与应变3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能3-4 失效、许用应力和强度条件3-6 薄壁圆筒的扭转3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件3-8 纯弯曲时梁的正应力3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件3-11 梁的合理设计3-12 剪切与挤压的实用计算3-13 应力集中,杆件的应力与强度计算,3-1 引言,问题提出：,1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。,思路（“三方面”
2、法）：变形几何关系、物理关系、静力学关系变形几何关系：杆件的应变规律变形规律假设物理关系：应力与应变间的关系静力学关系：内力与应力的关系（内力与外力的关系）,材料的力学性能,3-2 拉（压）杆的应力与应变,一、拉（压）杆横截面上的应力,所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。,变形前,受载后,2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。,3.内力的分布,FN,均匀分布,1.平面假设 (Plane assumption) 变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.,4.正应力公式,拉为正压为负,拉压直杆 杆的截面
3、无突变 截面到载荷作用点有一定的距离,6. 公式的应用条件：,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。,5. 危险截面及最大工作应力：,7. Saint-Venant原理：,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响 。,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图：,应力分布示意图：,例1 如图所示起吊三角架，已知AB杆由2根80807等边角钢组成，F=130kN，30。求AB杆横截面上的应力。,解：（1）计算AB杆内力,取节点A为研究对象，,（2）计算AB,例2
4、起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2，l1=l2=50m，P=12kN，=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求max。,解：（1）计算轴力,AB段：取11截面,BC段：取22截面,（2）计算应力,二、 斜截面上的应力,1. 斜截面上的应力,以 p表示斜截面 k - k上的 应力，于是有,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的剪应力 ,将应力 p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定(Sign convention),（3）切应力 对研究对象任一点取矩,p,（1）当 = 0 时，,（2）当 = 45时，,（3）当 = -45 时，,（4）当 = 90时，,
5、讨 论,三、拉（压）杆的应变.胡克定律,1、纵向变形,纵向应变,纵向变形,2、横向变形,横向应变,横向变形,3、泊松比 (Poissons ratio), 称为泊松比,4、胡克定律 (Hookes law),式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.,上式改写为,由,3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能,（1） 常温: 室温（2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载（3） 标准试件：采用国家标准统一规定的试件,一、试验条件及试验仪器,1、试验条
6、件：,材料的力学性能：也称为材料的机械性能，指材料在外力作 用下表现出的变形、破坏等方面的特性。,圆截面试件：l10d，l5d,板试件（矩形截面）：,标距：试样上试验段长度,2.试验设备（1）万能材料试验机 （2）游标卡尺,二、拉伸试验,低碳钢拉伸时的力学性质,应力应变曲线（ 图）,拉伸图 ( P- L曲线 ),试样的变形完全是弹性的。即加载变形，卸载后变形能完全恢复。,(一）弹性阶段（OA段）,弹性极限e,A点所对应的应力是弹性阶段的最高值，是材料只出现弹性变形的最高值。,在弹性阶段内有一段直线段，在该段内、之间呈线性关系，称为比例阶段，也称线弹性阶段,线弹性阶段（ OA段）,比例极限p,A
7、对应的应力是线弹性阶段最高值,(二)屈服阶段(AC段) 塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢复的变形。,滑移线（与轴线成45夹角）,变形特点： 基本不变，显著增加 屈服或流动,上屈服极限不稳定下屈服极限稳定屈服极限（s）,塑性材料的失效应力:s,（三）强化阶段（ CD段）,材料的强化：材料恢复抵抗变形 的能力。,（四）颈缩阶段（DE段）,试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象。一直到试样被拉断。,b 强度极限（或抗拉强度）,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 .,断面收缩率,伸长率, 5%的材料，称作
8、塑性材料 (ductile materials), 5%的材料，称作脆性材料 (brittle materials),伸长率和端面收缩率,卸载定律：把试样拉到超过屈服极限后卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。,冷作硬化：在材料强化阶段卸载后再加载,材料比例极限提高,而塑性降低的现象。,是试样的弹性应变,冷作时效：在常温下把材料预拉到强化阶段，然后卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高。,是试样的塑性应变,铸铁在拉伸时的力学性能,铸铁拉伸时力学性能特点：,1）无屈服和颈缩现象；2）拉断时应力较小；3）基本无直线段，近似服从胡克定律，并以割线的斜 率作为弹性模量。
9、,只有一个强度指标b,割线斜率,其它金属材料在拉伸时的力学性能,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变0.2%时，所对应的应力作为塑性指标，并用P0.2表示,称为规定非比例伸长应力（名义屈服极限）,三、材料压缩时的力学性能,1.实验试件,压缩的实验结果表明,低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同. 屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限.,2.低碳钢压缩时的-曲线,3.铸铁压缩时的-曲线,铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45 55倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍.,3-4 失
10、效、许用应力和强度条件,失效：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。材料的两种失效形式：（1）塑性屈服：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。（2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。,极限应力(Ultimate stress)：失效时的应力,并用 u 表示。,塑性材料 塑性屈服极限应力u 屈服极限s 脆性材料 脆性断裂极限应力u 强度极限b,以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力，用表示.,许用应力(Allowable stress),n 安全系数 (factor of
11、 safety),塑性材料 (ductile materials),脆性材料 (brittle materials),材料性质,理想构件与实际构件之差别,加载性质,工作条件,安全系数的选取,塑性材料：n=1.22.5,脆性材料： n=2.03.5,拉压,强度设计准则,其中：许用应力， max危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：,保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。,校核强度：,许可载荷：,例3 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆
12、的强度。,钢拉杆,4.2m,A,B,C,钢拉杆,8.5m,q,4.2m,FAy,FB,FAx,应力：,强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。, 局部平衡求 轴力：,q,FN,FAy,FAx,FCy,FCx,例4 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为。,分析：,x,L,h,q,P,A,B,C,D, BD杆面积A：,解： BD杆内力FN(q )： 取AC为研究对象，如图,FAy,FAx,FNB,x,L,P,A,B,C,x,L,P,A,B,C, 求VBD 的最小值：,FAy,FAx,FNB,例5 已知：=30，斜杆由二根80807等边角钢组成， 横杆由二根10号槽钢组成，材料均为A3 钢，许用应力 =120MPa。试求许可载荷F。,解：1、受力分析，画受力图。 设FN1为拉力，FN2为压力。,由平衡条件,2、计算许可轴力,由式,得,由附录型钢表查得斜杆横截面积 A1 =10.862=21.72cm2 ，横杆横截面积 A2 =12.7482=25.496cm2 。,FN1 =21.7210 -4120260(kN),FN2 =25.49610 -4120 =306(kN),许可载荷F =130kN。,
