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1、第三章 二维随机变量,开课系：理学院 统计与金融数学系 授课教师：徐林,2.4 二维随机变量一、 多维随机变量,1.定义 将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标,多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,二. 联合分布函数,几何意义：分布函数
2、F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),EX,G,已知随机变量(X,Y)的分布函数F (x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率.,答:,分布函数F(x, y)具有如下性质：,且,(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1,
3、 y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2).,(3)右连续 对任意xR, yR,(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,三.联合分布列,(P60)若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi
4、, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,X Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x
5、1 x2xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,四.二维连续型随机变量及其密度函数,1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负函数f (x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,2、联合密度f(x, y)的性质(p63) (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性：
6、,反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f (x, y)还有下述性质,(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有,(4)对于任意平面区域G R2,在具体问题的计算中，要化二重积分为累次积分，及x-型积分或者y-型积分。请看下面的两个例子。次部分内容为第三章重点内容，也是难点，要重点关注，掌握方法。,EX,设,求:PXY,G,1,1,x,y,求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,例3. 设,解(1)由归一性,1,1,(3) (X, Y)落在三角形区
7、域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,解,3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有,例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求PY2X ；(3)求F(0.5,0.5),解:,注：在计算与二维连续型随机变量的有关计算时，必须注意两个问题：随机变量的取值范围以及随机变量的密度函数的取值形式。实际上，这也是研究随机变量的基本内容。,其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(
8、X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P66),分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。,定义. n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,定义. 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn,(x1,x2,.xn) Rn为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,多维随机变量,离散型,分布函数,连续型,归一性矩形概率,归一性,归一性P(X,Y)G,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,EX:随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,
