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1、第三节 一般常数项级数,一、交错级数及其审敛法,二、绝对收敛与条件收敛,三、小结与练习,定义：正负项相间的级数，称为交错级数。,可以写成下面两种形式 ：,其中,一、交错级数及其审敛法,定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数,满足条件：,则交错级数收敛，其和,余项满足,说明：1. 莱布尼兹定理的条件（1）不是必要条件（条件（2）是必要的）。,2. 定理同时给出了级数的和与余项的估计式。,3. 定理应用的关键是条件1的验证。,定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数,满足条件：,则交错级数收敛，其和,余项满足,4. 检验条件（1）常用的方法,（1）比值法：,考察,是否成立？,（2）差值法：,考察,是否成立？
2、,（3）导数法：,找一函数 f (x) , 使,且当 x 充分大时，,是否成立？,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,例1：,解,所以级数收敛，其和小于 1，,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,f (x) 单调下降,所以当 n 3 时，必有,由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。,将原级数相邻两项加括号,发散，,性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛,所以原级数发散 .,（二）绝对收敛与条件收敛,考虑任意项级数,一般项取绝对值后所得级
3、数记为,（1）若,收敛，,则称原级数,绝对收敛,（2）若,发散，,而,收敛，,则称原级数,条件收敛。,问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？,定理8 : 若级数,绝对收敛，,则原级数,即,收敛，,必定收敛。,（1）该结论的逆命题不成立。,（2）定理提供了检验一般级数,是否收敛的一种,有效方法。,（3）若,发散，,不能断定,也发散，,但若是用比值或根值判别法判断,发散，,则可断定原级数,一定发散。,证明,任意项级数,收敛性判断的一般步骤：,（1）检验,（3）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（4）若,发散，,但是用比值或根值法判断的,则原级数也发散。,是否成立？
4、,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（5）用性质或其它方法。,例1：判别级数 的收敛性。,解：记,而级数,因此原级数,所以由比较判别法知，级数,是 p = 2 的 p 级数，收敛，,收敛。,绝对收敛，从而收敛。,则,例2：判定级数 的敛散性。,解：这里 x 可正可负，故它是一个任意项级数,所以，原级数对一切,都绝对收敛,考察正项级数,例3：判定级数 的敛散性。,解：,当 | x | 1 时，原级数绝对收敛，,| x | 1 时，,从而收敛，,考察正项级数
5、,发散，,且是用比值法判别的，,所以原级数,发散。,例3：判定级数 的敛散性。,解：,考察正项级数,当 x = 1 时，级数为,调和级数，发散,当 x = 1 时，级数为,交错级数，且,满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，,且为条件收敛。,例3：判定级数 的敛散性。,解：,考察正项级数,当 | x | 1 时，原级数收敛，,且为绝对收敛。,当 | x | 1 ，或 x = 1 时，,原级数发散。,当 x = 1 时，原级数为交错级数，且满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。,结论：,解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为,所以,故原级数绝对收敛。,收敛，,例4：判定下列级数是否收敛，如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。,解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为,所以,故原级数发散。,发散，,且是用根值判别法判别的，,解：这是交错级数，且,满足,由莱布尼兹定理知，原级数是收敛的,发散，,故原级数是条件收敛的,（ p = 1 / 2 的 p 级数）,四、小结,作,业,P234,习题12-3: 1(2, 4, 6), 3,6,作业,
