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1、5 矢量空间的直和与直积,5-1 直和空间,5-2 直积空间,5-1 直和空间,这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。,定义这个空间中的三种运算：,加法：,（5.1）,在直和空间中的加法单位元（零矢量）是,数乘：,内积：,（5.2）,（5.3）,如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。,（5.5）,（5.6）,如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开。,算符的加法和乘法可根据上述定义得出：,（5.7）,(5.8),直和空间的维数：,由此可以看出，若取直和空间的基矢为,（5.9）,（5.10）,（5.11）,（5.12）,（5.
2、13）,（5.14）,当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切关系都是明显的，这里不在赘述。,5-2 直积空间,（5.17）,数乘：,(5.18),内积：,此外，还有一个直积的分配律：,(5.19),(5.20),(5.21),算符运算有下列的关系：,(5.22),(5.23),(5.24),从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去。,算符的直积：,(5.25),这时,(5.26),(5.27),(5.28),可以写成,(5.30),直积算符的矩阵表示：,此式可以写成一种便于记忆的形式：,(5.32),(5.31),在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式。,以上我们对于两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样的方法讨论两个以上空间的直积。,
