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1、科学计算可视化,点数据可视化与二维数据场可视化,Visualization Techniques -One Dimensional Scalar Data 一维标量场可视化,1D 插值问题,f,x,1,2,3,4,0,1,2,3,4,给定数据点 (x1,f1), (x2,f2), (x3,f3), (x4,f4) 请估算其他位置点x*的函数值,假定x*=1.75,最近邻插值,f,x,1,2,3,4,0,1,2,3,4,选择 x* 点附近最接近其点的函数值作为其函数值若 x* = 1.75, 则 f 估值为 3,线性插值,f,x,1,2,3,4,0,1,2,3,4,连接两点构造直线, f值对应x
2、*. 此时x*=1.75, 则 f 估值为 2.5,线性插值计算,f(x*) = (1-t) f1 + t f2 函数 j(t)=1-t ， k(t)=t 为基函数.或者, 整理表达为:f(x*) = f1 + t ( f2 - f1 ),假定 x* 位于 x1 和x2.之间.应用变换:t = (x*-x1)/(x2-x1)那么 t 属于 0 到 1.,t=(1.75-1)/(2-1)=0.75,f(1.75)=0.25*1+0.75*3 =2.5,f(1.75)=1+0.75*(3-1) =2.5,最邻近插值与线性插值比较,最邻近插值速度：很快，无算数运算连续性 : 函数值不连续边界 : 两
3、端数据点的值线性插值速度：快，一次乘法,一次除法连续 : 数值连续,斜率达不到 (C0)连续边界 : 两端数据点的值,绘制光滑曲线,与连接两点成直线不同，下面绘制曲线段,估计两点处的斜率g1和g2的值,建立连接两端点的曲线,斜率估计,斜率的估计常用两端点斜率的平均来表示如： x2,x1,x2,x3,f2,f1,f3,分段三次插值,x1,x2,f1,f2,g1,g2,f(x) = c1(x) * f1+ c2(x) * f2+ h*(d1(x) * g1- d2(x) * g2),ci(x), di(x) 为三次 Hermite基函数,h = x2 x1.,当 x1 和 x2 已知, 可以在区间
4、 x1,x2上建立唯一的三次插值,三次 Hermite插值基函数,t = (x - x1)/(x2 x1)c1 (t) = 3(1-t)2 - 2(1-t)3c2 (t) = 3t2 - 2t3d1 (t) = (1-t)2 - (1-t)3d2 (t) = t2 - t3,Check the valuesat x = x1, x2 (ie t=0,1),工程数据 - 三次插值,分段三次插值,与最邻近、线性插值相比，计算复杂。连续性: 斜率 (C1) 连续，若给定二阶导数 则 (C2)连续。边界: 通常边界不能实现控制。,形状控制,但选择特殊的数值估计斜率可以实现控制形状。如取：1/g2 =
5、0.5 ( 1/1 + 1/2)此时， f(x) 位于边界之内,工程数据 保持在数据边界内部,绘制线性图,最终的绘制步骤简单：假定绘图都用直线段表示。因此，直线问题最容易处理。对于曲线，用一系列直线段逼近。,17,主要内容,二维平面数据场的可视化方法,Visualization TechniquesTwo Dimensional Scalar Data,二维标量场可视化二维标量场等值线抽取,二维平面数据场的可视化方法,二维数据场是科学计算可视化处理的最简单的一类数据场，二维数据场是在某一平面上的一些离散数据，可看成定义在某一平面上的一维标量函数F=F(x,y)。二维数据场可视化的方法主要有颜色
6、映射法、等值线、立体图法和层次分割法等，这些方法的原理都比较简单。,颜色映射方法,可视化系统中，常用颜色表示数据场中数据值的大小，即在数据与颜色之间建立一个映射关系，把不同的数据映射为不同的颜色。在绘制图形时，根据场中的数据确定点或图元的颜色，从而以颜色来反映数据场中的数据及其变化。,神舟号宇宙飞船周围空气分布密度,颜色映射方法,可视化系统处理的数据一般为离散网格数据，网格之间的数据采用插值的方法计算。可视化系统的绘制模块一般不直接插值计算网格间的数据，而是利用计算机硬件提供的功能直接对颜色的RGB基色值进行插值计算，这样有助于提高绘制速度。但也由此引起了误差。由于大部分颜色映射模型都采用非线
7、性的映射，对颜色的线性插值实际上是对数据的非线性插值，从而造成误差，导致完全错误的颜色。实践中可采用颜色表方式来解决这一问题。由于颜色表索引与数据间是完全线性的映射关系，因而不会引起插值误差。,等值线方法,所谓等值线是由所有这样的点(xi, yi)定义，其中F(xi, yi)=Fi(Fi为一给定值)，将这些点按一定顺序连接组成了函数F(x,y)的值为Fi的等值。常见的等值线如等高线，等温线，是以一定的高度，温度作为度。,等值线的抽取算法可分为两类，网格序列法和网格无关法。,网格序列法的基本思想是按网格单元的排列顺序，逐个处理每一个单元，寻找每一单元内相应的等值线段。处理完所有单元后，自然就生成
8、了该网格中的等值线分布。,等值线方法,假设网格单元都是矩形，其等值线生成算法的主要步骤如下：1） 逐个计算每一个网格单元与等值线的交点；2） 连接该单元内等值线的交点，生成该单元内的等值线线段；3） 由一系列单元内的等值线线段构成该网格中的等值线；,网格单元与等值线的交点计算主要计算各单元边与等值线的交点，可采用顶点判定，边上插值的方法计算。设等值线的值为Ft，若FijFt，则记顶点为+。若单元的四个顶点全为+或-，则网格单元内无等值线；否则对两个顶点分别为+ -的单元边插值计算等值线的交点，并在单元内连线。,网格无关法则通过给定等值线的起始点，利用起始点附近的局部几何性质，计算等值线的下一点
9、；然后利用计算出的新点，重复计算下一点，直至达到边界区域或回到原始起始点。 网格序列法按网格排列顺序逐个处理单元，这种遍历的方法效率不高。网格无关法则是针对这一情况提出的一种高效的算法。,实际上存在着两种连接方式的二义情况，不可能判断哪种连接情况是正确的。可采用单元剖分法，算法的基本思想是利用对角线将矩形单元分成四个三角形单元，求出中心点的函数值，等值线的抽取直接在三角单元中进行。三角单元中至多只包含一条等值线，从而避免了二义性问题，但处理单元数目增加了四倍。,剖分法连接,立体图法和层次分割法,立体图法就是以一个立体图形来显示平面数据场，因为将平面数据场的数据转换为高度，从整体上可以看成三维图
10、形。使用立体图方法显示，可以用多种方法拟合数据场，如：三角面片、曲面逼近等，曲面逼近会产生更好的效果。但由于数据场的密度较大，完全可以使用三角面片模型来显示整个数据场。在显示中，可以采用法向量插值来消除Mach效应，使用多光源来增强立体效果。,三维中国地图,立体图法和层次分割法,Mach效应：当亮度发生跃变时，会有一种边缘增强的感觉，视觉上会感到亮侧更亮，暗侧更暗。马赫效应会导致局部阈值效应，即在边缘的亮侧，靠近边缘像素的误差感知阈值比远离边缘阈值高34倍，可以认为边缘掩盖了其邻近像素，因此对靠近边缘的像素编码误差可以大一些。,立体图法和层次分割法,层次划分法是立体图法的扩展，首先用户定义层次范围及各层的颜色。在绘制每个三角面片时，若三角面片的最大值、最小值都在一个层内，则按该层的颜色绘制；否则要将三角面片进一步剖分为m个多边形，每个多边形处于一层，并以各层颜色绘制。这样各层之间就有一个明显的层次分割线。在实际应用中可用于显示等值线、等高线等。两种方法特别适合于对地形数据场进行可视化处理。,三维中国地图,
