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1、,第 13 课时二次函数的图象与性质(二),第三单元函数,【考情分析】,考点一二次函数的图象与系数的关系,上,下,y,左,右,(续表),(0,0),正半轴,负半轴,两,(续表),a-b+c,-1,考点二二次函数与一元二次方程、不等式的关系,1.二次函数与一元二次方程的关系,不相等,相等,没有,2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于 的部分对应的点的横坐标的取值范围.,x轴下方,1.2019荆门抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为
2、()A.0B.1C.2D.3,题组一必会题,C,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图13-1,下列结论:b24ac;abc0;a+b+c0.其中正确的是.(填序号),图13-1,3.二次函数y=x2-x-6的图象如图13-2,观察图象回答:(1)当 时,y0;(2)当 时,y=0;(3)当时,y0.,图13-2,x3,x=-2或x=3,-2x3,4.若二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是 .,x1=1,x2=2,题组二易错题,【失分点】不理解抛物线与x轴的位置关系就是一元二次方程根的情况,
3、没有掌握二次函数解析式中的二次项系数与一次项系数共同决定对称轴的位置.,5.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧,D,6.2018莱芜函数y=ax2+2ax+m(a2B.-42D.0 x2,答案 A解析由题意,得4a+4a+m=0,m=-8a,y=ax2+2ax-8a.令y=0,得ax2+2ax-8a=0,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.a2时y0.,7.已知二次函数y=kx2-(2k-1)x+k-2的图象与x轴交于两个
4、不同的点,那么k的取值范围是 .,考向一二次函数的图象与各项系数的关系,例12018恩施州抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,部分图象如图13-3,下列判断:abc0;b2-4ac0;9a-3b+c=0;若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则y1y2;5a-2b+c0,其中正确的个数为()A.2B.3C.4D.5,图13-3,答案 B,【方法点析】利用图象位置来判断系数的符号,或者含有系数的关系式(a的符号由开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置确定,抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号)时,常利用数形结合思想,通过对
5、开口方向以及对称轴位置,与坐标轴的交点位置、顶点和其他特殊点位置的“量化”分析,得到关系式.,| 考向精练 |,1.2019益阳已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-4,下列结论:ac0,b-2a0,b2-4ac0,a-b+c0,正确的是()A.B.C.D.,图13-4,答案 A,2.2019甘肃如图13-5是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:ac0,2a+b0,4ac0时,y随x的增大而减小,其中正确的是()A.B.C.D.,图13-5,答案 C,图13-6,答案 D,考向二借助图象求解二次函数、方程与不等式之间的关系,例2 2019潍坊抛物线y=x2+bx+3的对
6、称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11B.t2C.6t11D.2t6,答案 A解析由题意得b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1x4,2t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,所以t的取值范围是2t11.故选A.,| 考向精练 |,1.2019南昌八一中学联考如图13-7是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的一部分,给出下列命题:a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0的两根分别
7、为-3和1;a-2b+c0.其中正确的命题是()A.B.C.D.,图13-7,答案 C,2.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.,2.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信
8、息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;,(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1.二次项系数为1,故抛物线开口向上,当x-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为-1.,2.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.,(3)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,=4-4(
9、3-k)0,解得k2.,考向三与变量系数有关的二次函数综合题,例3 2017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;(2)当该函数的图象与x轴有两个交点时,求m的取值范围,并求m为最大整数时,方程mx2-6x+1=0(m是常数)的两根;(3)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.,解:(1)证明:当x=0时,y=1.所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1).,例3 2017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(2)当该函数的图象与x轴有两个交点时,求m的取值范围,并求m为
10、最大整数时,方程mx2-6x+1=0(m是常数)的两根;,例3 2017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(3)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.,(3)当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点;当m0时,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,解得m=9.综上,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.,| 考向精练 |,2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左边),与y轴交
11、于点C.(1)写出A,B点坐标.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质.是否存在实数k,使ABP为等边三角形?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.,图13-8,若直线y=8k与抛物线L2交于点E,F,请问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,求EF的长度;如果会,说明理由.,解:(1)A(1,0),B(3,0).,2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)
12、图象的顶点为P.直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质.,图13-8,(2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质是:对称轴都是直线x=2或顶点的横坐标都为2;都经过点A(1,0),B(3,0).,2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.是否存在实数k,使ABP为等边三角形?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.,图13-8,2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.若直线y=8k与抛物线L2交于点E,F,请问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,求EF的长度;如果会,说明理由.,图13-8,线段EF的长度不会发生变化.直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点,kx2-4kx+3k=8k有两个不相等的实数根.k0,x2-4x-5=0,x1=-1,x2=5,EF=x2-x1=6,线段EF的长度不会发生变化.,
