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1、流体力学有限元分析中的边界条件处理赵永凯高殿荣梁启国尹敏镐燕山高校大庆石化总厂摘 要阐述了流体力学有限元分析中应用流函数-涡量法时典型边界条件的处理方 法,并给出计算实例.关键词 有限元涡-流函数法边界条件分类号0357. 10引言求解不行压缩粘性流体二维流淌问题的数值方法有速度-压力法 涡-流函数法和 流函数法,其中涡-流函数法应用较广I 7 .在应用涡流函数法进行有限元分析时，数值边界条件的处理不但影响解的精度而 且影响解的稳定性2 .本文结合工程实际给出了在有限元分析中确定几种典型边界条件 的方法.1边界条件的处理a;- is)图I沿背部台阶的边界条件名出流边界如图1所示的沿背部台阶的不
2、行压缩粘性流 体二维流淌 C点为角点.在涡-流函数方程的求解过程中，不仅需要 知道边界上的流函数和涡量值，有时还要对边界 上的涡量值不断地进行修正.下面分别争论各种 边界上的流函数值和涡量值.设 X和分别为 X方向和y方向的有限元划分网格间距，i和，分别 为X方向和y方向的步长指标.D壁面边界处理若壁面是不行渗透的，则沿壁面的流函数 为常数.一阶精度的壁涡公式为：C 2(ij - 7+i)rj = . 2 O(y)rg, (Mf) C二阶精度的壁涡公式为：322- 小 Qy+ 1,aQS=+。(切2)/用内点上的VJ,M,表示边界上的涡量值.二阶壁涡公图2式在大网格雷诺数和项网格状况下往往引起
3、数值不稳定和计算不收敛;一阶壁涡公式虽然精度低,但计算稳定易于收敛.此外一种二阶壁涡公式5为:8“-7- WY+22(y)2+ O(y)2)用时间迭代法确定壁涡的方法6为：依据不行压缩粘性流体二维流淌的流函数-涡量公式& 79x29/= Q生 9 9闻9/ + M 9.v + v 9y =忒 9x2 9v2J 对上述方程进行有限元离散彳导总体矩阵方程K =例。-夕(4)何+ ( K + A) = 5(5)式中，Q= 99/. K, M,A,q和S为系数矩阵.在求解式(4)和(5)时,为确定壁面涡量， 首先由式(4)和t =，。时刻的涡量初值来计算t =质+，时刻的流函数,有=C ,(zo -
4、q)(6)然后再用式(4)和新的流函数值W求得壁涡,o+z = M i( k,o+, + q)最终,从式,(5)劫身,并采用新的壁涡值可求S +，时刻其内部各点的涡量值.以后每增 加一个时间步长都按上述方法确定壁涡,所以也称壁面涡的时间迭代法.边界风的处理和Bi相同.2)对称边界处理由于流淌的对称性,图1中的边界Bs为对称边界；而对称线必为流线,因此在对称边 界上的流函数W%为常数.对称边界是滑移边界,明显n 9v% 二 冢99vLs由此可求对称边界上的涡量9v9-99y=0B,3)上边界处理上边界B3 一般为以下两种情形：其一是非滑移固体壁面，比如管道流淌的上边界就 属于这种情形.可采纳对8
5、1的处理方法来处理.其二是滑移面,如飞机在飞行中的无界流 体的绕流问题:此时)，方向的流场应是无限的，但数值计算时却要在有限区域内进行,于 是在离开绕流物体足够远处确定一个上边界心 ,其上的边界条件应与无穷远条件相通 配.滑移面可看作滑移固体壁面,通常可采纳下述两种处理方法：在&上规定为无穷远平行来流， =V 00, V =0,流函数满意W,“ =8nst.常数 值由流量确定.为求Bi上的涡量值,可推出类似的壁涡公式： 一阶精度公式为1, =2(,人 I .叫 j + V OAW 、(y)2- -1-二+ O(,y)二阶精度公式为+ O(y)2)C,j. i.j + V oMQ一 上述边界条件
6、,对于V2 =是第一类Diricheit边界条件,易于求解.(H)场在上,与无穷远处平行流淌完全全都,边界条件为。=V由于Qi-J = l 一所以怎一 二S可见该条件比匕，=0条件要宽些.但对 = Q是Neuman边界条件,可采纳一阶精度的离散形式假如流量已知,也可以用Wj =nst.4)进流边界处理进流边界Bi也称上游边界.其边界条件应按进流物理条件确定.有以下几种状况：(i)规定 Uoj = V OO, Vqj = 0Z、(ii)规定OJ = Voo, Q。=0.由于。I =*-B =*，相当于规定I VX 物 OJ y OJ黄L也就给定了 显=0,这比规定V017- = 0要放松些.(i
7、ii)规定 =()据止匕Qoj =群-微然,此时已不是匀称来流.通常值由边界层计算而得.(N)规定 j 而。J =029x2l0.2一函I苴中为9x 9y) o.、乜 9y。，可知缸厂割LJ最终得到_曲|Uoj= 9l1, 9/IOJ一“2 , +W?. 一- 2o ； + 小(幻2(尸5)出流边界条件在有限元分析中,出流边界条件的扰动会向上游传播,边界条件的处理将影响计算的 稳定性和解的精度.出流边界条件的处理与进流边界条件的处理相像,也可按出流的物理 条件确定.可有以下几种状况：(i)规定 Vp = 0,，= 0.或Wu = Ql.j,Qlj = /.I.；.I,J(ii)规定 W= W/
8、. ,八0/./ = 0.向规定乳O.缸丁。.或。3 =.1,7 =2,.17- 2,.2.6)尖角点处理凹尖角边界规定 WiO = Oq-O= o.(ii)凸尖角边界规定流函数WC = COnsi.对涡量Q,的处理有以下几种方法：双值法如图4所示，由于C点即在壁面Bl上又在里 面以上，所以对。点可用壁涡公式求得两个壁面 涡量：OC上=2(ifjc - ,“+，/( y)2OC下=2(- .r+1.(AJ2 由于C是奇点,所以C点的壁面涡量可以不为单 值.当。C分别用于上下面结点(ie,jc + U与G + 1，川有限元离散时,分别取。C上与QC下.平均法取 Oe = (OC上 +Qc1下)/
9、2分别点法由于C点上游的流淌,在C点没有分别;而C点下游的流淌,在。点产生分别,所以 在C点有两个涡量值.即CC上=2( - / ,7.+)/ (y)2 QrF=O虚拟对称法将C点作为内点来处理,而把看成对于C点是对称的,其对称虚拟值W 3为关于C点的PbSSion方程- 2,./ + W, 2叫，+. (x)2+(yJ2. K由于5M= O和虚拟值 3的对称性,可得 M = 2 ljr.l(x)2 + 2+lj( y)245壁角法将尖角点C看成是一个法线方向为4加小平面.可用法向壁涡公式c = 2(p)(n式中，(p)由邻近内点值内插确定.2计算实例在一平行板管道内有处于静止状态的流体,如图
10、5所示.在，=O时列入口以流体的给定速度为u=l.求充分进展后的稳态解8 .、,图5平行板管道流淌解用有限元方法求解流函数-涡量 方程时,将涉及到以下几种边界状况：(D进流边界ab.此时进口为一单位 匀称速度,按前述方法,流函数中必=r 涡量Q必=0.(2)无滑移上边界be.此时 . =n2 st,该常数值可以详细算出.涡量值的确 定,可以用一阶匚阶壁涡公式,也可以用 时间迭代法.(3)对称边界 ad.取 Bad=O ,=0oQO(4)出流边界cd.瞪 / = ，玄 / = 由于流淌的对称性,取上半流场为计算对象.将流淌区域进行有限元网格剖分,选用四结点等参四边形单元.计算的流淌雷诺数Re =
11、 200.部分计算结果见表1表3. 表1采纳一阶壁涡公式时的流函数涡量值I0.90.50I0.90.50010.90000.50(X)000000.32510.94530.5265010.93602.3580-0.441601.00010.97630.576704.74244.2933-0.374202.00010.97940.614604.12443.72850.243503.30010.98970.636203.86853.37130.620304.80010.98240.656403.52583.08900.978208.00010.98400.674103.21132.85351.27
12、80011.00010.98430.677803.14172.80851.3396021.10010.98430.677803.14102.80901.33920流函数涡量表2采纳二阶壁涡公式时的流函数涡量值流函数涡量10.90.5010.90.500I0.900.5000000000.32510.95490.5329012.0()4030492-0.508501.00010.97940.586103.98624.3864-0.279402.00010.98000.619804.17033.66150.326803.300 I0.98160.640003.84793.36320.672404.
13、800 I0.98310.659303.51943.0880I.016008. (X)O 10.98450.675703.21802.86271.2961011.20010.98480.678903.15802.82431.3471021.100 I0.98480.688703.15842.82561.34570表3固壁涡量采纳时间迭代法时的流函数涡量值流函数涡量Xyy10.90.5010.90.500I 0.900.5000000000.32510.95630.5340012.17803.1428-0.51950l.(X)010.98090.588504.00144.4507-0.26760
14、2.00010.98!50.622704.24603.71690.344003.300I 0.98320.643203.91413.41940.696004.800I 0.98480.662703.59003.14881.038508.00010.98630.679603.28302.91871.3282011.20010.98660.683003.21142.87121.3911021.100I 0.98660.683003.20982.87121.39120计算表明,一阶壁涡公式的计算精度低于二阶壁涡公式,二阶壁涡公式的计算精度低 于时间迭代法.其缘由是二阶壁涡公式有截断误差.3结论给出的
15、典型边界的处理方法和计算公式,对实际问题的分析和计算具有重要的参考 价值和指导意义.对于简单边界条件下的处理方法和计算公式,尚待进一步争论.参考文献1赵学端等.粘性流体力学.机械工业出版社,1993.376390.2析孝康等.计算流体力学.国防科技高校出版社,1989. 251269.章本照.流 体力学中的有限元方法.机械工业出版社.986 . 176-187.吴江航等.计算流体力学的理论 方法及应用.科学出版社1988 . 172-199. 4Roache PJ Computational fluid dynamics . Hcrmasa publishers. 1976,2632875 M
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