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1、抛物线及其标准方程,沙洲中学高二数学组,横车中学高二数学组 钟涛,请同学们思考一个问题,我们对抛物线已有了哪些认识?,想一想?,二次函数是开口向上或向下的抛物线。,生活中存在着各种形式的抛物线,抛物线的生活实例,投篮运动,抛物线的生活实例,飞机投弹,抛物线的生活实例,探照灯的灯面,请同学们观察这样一个小实验?,平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。(注意:F不在I上)定点F叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物线的准线。,抛物线的定义,求曲线方程的基本步骤是怎样的?,想一想?,抛物线标准方程的推导,回顾求曲线方程的一般步骤是:,1、建立直角坐标系,设动点为(x,y),2、
2、写出适合条件的x,y的关系式,3、列方程,4、化简,5、(证明),设焦点到准线的距离为常数P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢?,抛物线标准方程的推导,试一试?,K,K,设KF= p,设动点M的坐标为(x,y),由抛物线的定义可知,,解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴,线段KF的中垂线为y轴,抛物线标准方程的推导,( p 0),方程 y2 = 2px(p0)叫做抛物线的标准方程,其中 p 为正常数,它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,抛物线的标准方程,但是,对于一条抛物线,它在坐标平面内的位置可以不同,所以建立的坐标系也不同,所得抛物线的方程也不同,所以抛
3、物线的标准方程还有其它形式。,方程 y2 = 2px(p0)表示的抛物线,其焦点 位于X轴的正半轴上,其准线交于X轴的负半轴,抛物线的标准方程,抛物线的标准方程还有哪些形式?,想一想?,抛物线的标准方程,其它形式的抛物线的焦点与准线呢?,向右,向左,向上,向下,怎样把抛物线的位置特征(标准位置)和方程特征(标准方程)统一起来?,抛物线的标准方程,想一想?,抛物线方程,左右型,标准方程为y2 =+ 2px(p0),开口向右:y2 =2px(x 0),开口向左:y2 = -2px(x 0),标准方程为x2 =+ 2py(p0),开口向上:x2 =2py (y 0),开口向下:x2 = -2py (
4、y0),抛物线的标准方程,上下型,例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20 x (2)y=2x2 (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,(5,0),x= -5,(0,-2),y=2,课堂练习,注意:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:,(1)焦点是F(-2,0),(2)准线方程 是x =,(3)焦点到准线的距离是2,解:y2 =-8x,解:y2 =x,解:y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y,1.由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中 都只含一个系数p,因此只要给出确定p
5、的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程,2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解,由例1.和例2.反思研究,先定位,后定量,例3:求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。,解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-3,2)代入, 得p=,2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-3,2)代入, 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,课堂练习,3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法,2。抛物线的标准方程与其焦点、准线,4。注重数形结合的思想,1。抛物线的定义,课堂小结,5。注重分类讨论的思想,已知抛物线方程为x=ay2(a0),讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程?,课后练习,