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1、简谐振动的相关描述摘要:简谐振动简称“简振”，它是最基本也最简洁的机械振动，当物体进行简谐运动 时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质打算的 周期性运动。实际上，简谐运动就是正弦振动，故此在无线电学中简谐信号就是正弦信号。 关键词:简谐振动、机械振动一、简谐振动的定义假如做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振 动叫做简谐运动，又名简谐振动。因此，简谐运动常用X=ASin（t+e）作为其运动学定义。其中振幅A,角频率w,周期T,和频率f的关系分别为：（O =% =2f.以X表示位移，f表示时间，这种振动的数学表达式为：x=4
2、sin3 J + 夕），“式中人为位移X的最大值，称为振幅，它表示振动的强度；3c表示每秒中的振动的幅 角增量，称为角频率，也称圆频率；称为初相位。以f=W2表示每秒中振动的周数，称为频率；它的倒数，T=Wf,表示振动 一周所需的时间，称为周期。振幅4、频率f（或角频率GQ、初相位，称为简谐振动三要素。如图2所示，由线性弹簧联结的集中质量m构成简谐振子。当振动位移自平衡位置算 起时，其振动方程为：X + XO 9 *j*lw4 d k M*t-上式愀I .，府 fCHrrWra x；+| 二 arctg但3n只由系统本身的特征m和k打算，与外加的初始条件无关，故UM亦称固有频率。图2单自由度系
3、统.对于简谐振子，其动能和势能-kx2.2之和为一常量，即系统的总机械能守恒。在振动过程中，动能和势能不断相互转化。二、科学结论1、振幅、周期、和频率简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设定 的绳长）打算，所以又叫固有频率。2、一般简谐运动的周期m为振子质量，k为振动系统的回复系数。一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。3、单摆运动周期其周期丁 = 241（兀为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅（a5。）都和摆球质量无关，仅限于绳长 地球半径。4、运动周期的证明为了使示意图更加简洁，全部假设k=1,这样的话以为
4、=-kx（并且在此强调此处 负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽视负号），所以 回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移X,所以在两个示意图中都是用一条线表 示的。6一般简谐运动周期公式证明由于简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。圆周运动的：很明显V无法测量到，所以依据mv2得到其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即_ kxr =（FhkX中负号只表示方向，所以在这省略）。所以得到/ kxrm COSa由于X与r之间的关系是：x=rcos,所以上式连续化简得到:然后再将V带入之前的圆周运动T中，即可得到。5单摆周期公式证明首先必
5、需明确只有在偏角不太大的状况（高中课本认为小于5。均可）下，单摆的运动 可以近似地视为简谐运动。见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移X （回复力）垂直 于平衡位置。于是我们便可以得到SinXLO同时由于回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2,重力分力1即1的 延长线。于是我们可以得到AOB与重力和它的分力所构成的三角形相像（留意相像时的 三角形方向）即可得到：单摆周期公式证明留意：此处比例关系中的位移X虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F,但是必需 清晰在意义上G2才是真正的回复力F,由于回复力F为重力与速度平行方向上的分力即 27。于是依据相像我们可以得
6、到,于是化简得到竽二k,于是得到k 一 &,然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式5、运动方程的推导定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。若：将R记为圆周的半径，即简谐运动的振幅；将3记为匀速圆周运动的角速度，即简谐运动的圆频率，则： = J-i将。记为t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度 （逆时针为正方向），即简谐运动的初相位。则，在t时刻：简谐运动的位移X=ReOS(t+。)：简谐运动的速度v=-fRsin(Gf + 0);简谐运动的加速度a = -2 Rcos( t + ).三、十个“不肯定”1、物体运动的路线不肯定都是直线例
7、如，单摆摆球做简谐运动时的运动路线是在摆球平衡位置两侧并通过平衡位置的一段 圆弧，即摆球的运动路线为曲线。2、物体运动的速度方向与位移方向比肯定相同简谐运动的位移指的是振动物体偏离平衡位置的位移，位移的起点总是在平衡位置，那 么当物体远离平衡位置时，位移方向与速度方向相同，靠近平衡位置时，位移方向与速度方 向相反。3、振动物体所受的回复力方向与物体所受的合力方向不肯定相同例如，单摆在平衡位置四周(小角度范围内)的摇摆既做圆周运动，又做简谐运动，摆 球所受到的各个力的合力既要供应其做圆周运动的向心力，又要供应其做简谐运动的回复 力，即单摆振动过程中，摆球受到全部力的合力的一个分力供应向心力，另一
8、个分力供应回 复力，那么回复力方向就与所受到的各力的合力方向不相同。4、物体在平衡位置不肯定处于平衡状态例如，单摆摆球做简谐运动经过平衡位置时，由于摆球的平衡位置在圆弧上，摆球在圆 弧上做圆周运动需要向心力，故摆球在平衡位置处，悬绳的拉力大于摆球的重力，即摆球在 平衡位置并非处于平衡状态。5、物体在四分之一周期内通过的路程不肯定等于振幅做简谐运动的物体在一个运动周期的时间内通过的路程是振幅的4倍,在半个周期的时 间内通过的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期时间内通过的路程就不肯定等于振幅。 虽然当物体从平衡位置向最大位移运动四分之一周期时间或从最大位移向平衡位置运动四 分之一周期时间，物体通
9、过的路程都等于振幅，但是当物体从平衡位置和最大位移之间的某 一位置开头运动四分之一周期时间，通过的路程就不等于振幅了。由于做简谐运动的物体在 平衡位置四周速度比在最大位移四周速度大，故物体从平衡位置和最大位移之间的某一位置 向平衡位置方向运动并通过平衡位置的四分之一周期内通过路程就大于振幅，而向最大位移 方向运动并返回的四分之一周期时间内通过的路程就小于振幅。6、简谐运动的振动快时，物体的运动不肯定快简谐运动的振动快慢由振动周期或频率反映，周期小振动快，周期大振动慢；而做简谐 运动的物体运动快慢则由物体运动的瞬时速度反映，在某一时刻瞬时速度大则运动快，反之 则慢。同时，简谐运动的振动快慢是由振
10、动系统的本身打算的，而做简谐运动物体的运动快 慢则由振动物体的位置和储存在振动系统中的能量打算。所以简谐运动振动快，物体在某时 刻的运动不肯定快。7、单摆的摆长短，周期不肯定小单摆振动的周期不但与摆长有关，而且还与单摆所在处重力加速度肯定时摆球悬点的加 速度有关，当摆球的加速度为零时，摆长越短，周期就越小。那么当把摆长较短的单摆放在 加速度下降的升降机中时，由于单摆处于失重状态，故单摆振动的周期也可以比放在地面上 悬点加速度为零的摆长较长的单摆振动周期大，当单摆处于完全失重状态时，单摆振动周期 为无穷大，单摆处于停振状态。8、单摆摆球处在平衡位置时，摆线不肯定在竖直方向单摆摆球的平衡位置处在悬
11、点正下方的条件是摆球悬点的加速度为零或有加速度但加速 度在竖直方向，否则摆球的平衡位置就不在摆球悬点的正下方。例如，单摆悬挂在水平方向 加速运动的小车中，摆球处在平衡位置时，悬线就不在竖直方向，且小车的加速度越大，摆 球在平衡位置时，悬线与竖直方向的夹角也越大。9、物体每次通过同一位置时，同一物理量不肯定相同由于简谐运动具有周期性，故描述物体运动状态的物理量以及所受的回复力都在随时间 做周期性变化，这样物体每次通过运动路线上的同一位置时，同一物理量也就不肯定相同。 其中通过同一位置时，相同的物理量是位移、动能、回复力以及回复力产生的加速度，而速 度、动量这两个物理量在物体连续通过同一位置时就不相同，这是由于速度、动量时矢量， 其方向与运动方向相同，而物体连续通过同一位置时，运动方向是相反的，所以物体每次通 过同一位置时，同一物理量不肯定相同。10、运动物体在半个周期内回复力做功肯定为零，但回复力的冲量不肯定为零做简谐运动的物体在任意半个周期的前后瞬间，其速度大小肯定相同，速度方向可能是 相同的，也可能是相反的。故由动能定理和能量定理知，物体在半个周期内回复力做功肯定 为零，回复力的冲量不肯定为零。
