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1、一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,一、复习引入 如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右,3.3.3最大值与最小值,洪泽外国语中学 程怀宏,3.3.3最大值与最小值洪泽外国语中学 程怀宏,二、新课最大值与最小值,观察右边一个定义在区间a,b上的
2、函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x1)、f(x3),f(x2),f(b),f(x3),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,二、新课最大值与最小值xX2oaX3bx1y 观察右,一、是利用函数性质二、是利用不等式三、今天学习利用导数,求函数最值的一般方法：,一、是利用函数性质求函数最值的一般方法：,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,f(x)在闭区
3、间a,b上的最值：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,(如果在区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值),(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，,例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间-1，4内 的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+3配方，利用二次函数单调性处理,例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间-1，4内法一,例1 求函数f(x)=x2-4x+3在区间-1，4内的最值。,故函数f(x) 在区间-1，4内的最大值为8，最小值为-1.,解法二、,f (x)=2x-4,令f
4、 (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,8,3,-1,例1 求函数f(x)=x2-4x+3在区间-1，4内的最,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可
5、导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即
6、可,不必再与端点的函数值进行比较.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而,练习P77 1、2,练习P77 1、2,解:,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是,最小值是0.,令 ,解得,+,-,+,0,0,0,解:当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间,延伸1:设 ,函数 的最 大值为1,最小值为 ,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x变化时, ,
7、f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.,延伸1:设 ,函数,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以,延伸2:设p1,0 x1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.,说明:由于f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.,解:,令 ,则得xp-1=(1
8、-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.,而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1.,所以f(x)的最小值为 ,最大值为1.,从而函数f(x)的值域为,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以,练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在0,1上的最 大值.,解:,令 ,解得,在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在,思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,
