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1、第7章 三维变换,7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换,7.1 简介,三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。,与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是44的形式。由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。,7.2 三维几何变换,7.2.1 基本三维几何变换 1. 平移变换 若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为,P(x,y,z),P(x,y,z),x,y,z,补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变
2、换,2. 比例变换,（1） 相对坐标原点的比例变换一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为,x,y,z,其中,为正值。,（2） 相对于所选定的固定点的比例变换,z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),(1),(2),(3),3. 绕坐标轴的旋转变换,三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。 若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。
3、规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。,（1）绕 z 轴旋转,x,x,x,y,y,y,z,z,z,（2）绕 x 轴旋转,（3）绕 y 轴旋转,绕 z 轴旋转,绕 x 轴旋转,绕 y 轴旋转,旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵,中的元素添入相应的位置中，即,对于单位矩阵,旋转变换矩阵规律:,，绕哪个坐标轴,(1) 绕z轴正向旋转,角，旋转后点的z坐标值不变, x、y,坐标的变化相当于在xoy平面内作正,角旋转。,(2)绕x轴正向旋转,角，旋转后点的x坐标值不变，,Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正,角旋转。
4、,即,这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。,(3) 绕y轴正向旋转,角，y坐标值不变，z、x的坐标相当,于在zox平面内作正,角旋转，于是,7.2.2 组合变换,物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤: (1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合; (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转; (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。,x,y,z,x,y,z,(a),(b),y,x,z,(c),x,z,(d),绕任意轴旋转的变换(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,(1),(2)旋转物体使旋转轴与某
5、个坐标轴(如z轴)重合;(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;,x,y,z,P1,P2,(2),y,x,z,P1,P2,(3),(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向;(5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。,x,y,z,P1,P2,(4),x,y,z,P1,P2,(5),例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的正向一致。,x,y,z,V,x,y,z,实现步骤:(1)将V绕x轴旋转到xz 平面上;(2)再绕y轴旋转使之与z轴正向重合。,旋转角度的确定：绕x轴旋转的角度 等于向量V在yz 平面上的投影向量与z 轴正向的夹角。,x,y,z,V=(a,b,c),V1=(0,b
6、,c),V,V,根据矢量的点乘与叉乘，可以算出:,因此，,类似地，可以求出:,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,1) T,x,y,z,P1,P2,2),x,z,P1,P2,3),给定具有单位长的旋转轴A=ax,ay,az和旋转角 ，,则物体绕OA轴旋转变换的矩阵表示可确定如下：,A,轴角旋转,7.2.3 绕任意轴旋转变换的简单算法,x,y,z,o,其中,表示M的转置矩阵。,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换。与之相比，这种方法更直观。,x,y,z,P1,P2
7、,x,y,z,P1,P2,其中旋转轴A=ax,ay,az为,A,7.2.4 三维变换矩阵的功能分块,（1）三维线性变换部分（2）三维平移变换部分（3）透视变换部分（4）整体比例因子,7.3 三维坐标变换,几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个位置移动到另一个位置的变换。坐标变换： 一个物体在不同坐标系之间的坐标变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换；观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体，然后重新定位到用户坐标系。,坐标变换的构造方法:与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统转换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它能使两个坐标系统重叠。具
8、体过程分为两步：（1）平移坐标系统oxyz，使它的坐标原点与新坐标系统的原点重合；（2）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。有多种计算坐标变换的方法，下面我们介绍一种简单的方法。,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,设新坐标系oxyz 原点的坐标为（x0,y0,z0），相对原坐标系其单位坐标矢量为：,将原坐标系xyz下的坐标转换成新坐标系xyz的坐标可由以下两步完成：首先， 平移坐标系xyz，使其原点与新坐标系xyz的原点（x0,y0,z0）重合；,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,x,y,z,(0,0,0),平移矩阵为：,(x,y,z),第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵,该矩阵R将单位向量,分别变换到x,y和z 轴。,综合以上两步，从oxyz到oxyz的坐标变换的矩阵为,说明：变换矩阵TR将一个直角坐标系变换为另一个坐标系。即使一个坐标系是右手坐标系，另一个为左手坐标系，结论依然成立。,，也即坐标变换公式为：,习题77-1 对于点P(x,y,z) ，(1) 写出它绕x 轴旋转 角，然后再绕y轴旋转 角的变换矩阵。 (2)写出它绕 y 轴旋转 角，然后再绕 x 轴旋转 角的变换矩阵。所得到的变换矩阵的结果一样吗?7-2 写出绕空间任意轴旋转的变换矩阵。,
