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1、（一）单项选择题1. 函数的连续区间是（ ）答案：DA B C D或 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：BA. B.C. D.3. 设，则（ ）答案：B A B C D4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 5.当时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：CA B C D1. 函数的连续区间是（ ）答案：D或 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B. 3. 设，则（ ）答案： B 4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的答案： B，但5.当时，下
2、列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C 6. 下列函数中，（ ）是xsinx2的原函数 D-cosx2 答案： 7. 下列等式成立的是（ ） C 8. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）C 9. 下列定积分计算正确的是（ ） D10. 下列无穷积分中收敛的是（ ） B 11. 以下结论或等式正确的是（ ） C对角矩阵是对称矩阵12. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ ）矩阵 A13. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） C 14. 下列矩阵可逆的是（ ） A 15. 矩阵的秩是（ ） B116. 下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） Be x 17. 已知需求函数
3、，当时，需求弹性为（ ）C 18. 下列积分计算正确的是（ ） A BC D答案：A19. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ ）D20. 设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（ ） C 1. 下列函数中，（ ）是xsinx2的原函数 Acosx2 B2cosx2 C-2cosx2 D-cosx2 答案：D 2. 下列等式成立的是（ ） A B C D答案：C3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） A， B C D答案：C4. 下列定积分计算正确的是（ ） A B C D 答案：D5. 下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D答案：B1. 以下结论或等式正确的是（
4、） A若均为零矩阵，则有B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则答案C2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ ）矩阵 A B C D 答案A3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A， B C D 答案C4. 下列矩阵可逆的是（ ） A B C D 答案A5. 矩阵的秩是（ ） A0 B1 C2 D3 答案B1. 下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） Asinx Be x Cx 2 D3 x答案：B2. 已知需求函数，当时，需求弹性为（ ） A B C D答案：C3. 下列积分计算正确的是（ ） A BC D答案：A4. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ ）A
5、 B C D 答案：D5. 设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（ ） A B C D（二）填空题1.答案：02.设，在处连续，则.答案：13.曲线在的切线方程是 .答案：4.设函数，则.答案：5.设，则.答案：1设A为3x2矩阵，B为2x3矩阵，则下列运算中（AB ）可以进行.2设AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） 3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）4设AB阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（D ）7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B = C 成立. 9设，则r(A) =（ 1 ） 10设线性方程组的增广矩阵通过初等行
6、变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ） 11线性方程组 解的情况是（无解 ）12若线性方程组的增广矩阵为，则当(）时线性方程组无解13 线性方程组只有零解，则（可能无解）.14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（无解）1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是与是同阶矩阵2计算矩阵乘积=43若矩阵A = ，B = ，则ATB=4设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式5设，当 0时，A称矩阵.6当a时，矩阵可逆.7设AB个已知矩阵，且1-B则方程的解8设为阶可逆矩阵，则(A)=n9若矩阵A =，则r(A) =
7、 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组有非零解，则-112设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n r13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为.14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当d-1组AX=b解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解. 1.答案：02.设，在处连续，则.答案：13.曲线在的切线方程是 .答案：4.设函数，则.答案：5.设，则.答案：6.若，则.答案：7. .答案：8. 若，则 .答案：9.设函数.答案：010. 若，则.答案：11.设矩阵，则的元素.答案：3
8、12设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：13. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：14. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：15. 设矩阵，则.答案：16.函数在区间内是单调减少的.答案：17. 函数的驻点是，极值点是 ，它是极 值点.答案：，小18.设某商品的需求函数为，则需求弹性 .答案：19.行列式.答案：420. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.答案：1.若，则.答案：2. .答案：3. 若，则 .答案：4.设函数.答案：05. 若，则.答案：1.设矩阵，则的元素.答案：32.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .
9、答案：4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：5. 设矩阵，则.答案：1.函数在区间内是单调减少的.答案：2. 函数的驻点是，极值点是 ，它是极 值点.答案：，小3.设某商品的需求函数为，则需求弹性 .答案：4.行列式.答案：45. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.答案：(三)解答题1计算极限（1） = = （2）= = = （3）= = （4）（5）= （6） 2设函数，问：（1）当为何值时，在处有极限存在？（2）当为何值时，在处连续.答案：（1）当，任意时，在处有极限存在；（2）当时，在处连续。3计算下列函数的导数或微分：（1），求答案：（2），求答案：=（3），求答案：= （
10、4），求答案：（5），求答案： （6），求答案：（7），求答案：（8），求答案：=+=（9），求答案：（10），求答案：4.下列各方程中是的隐函数，试求或（1），求答案：解：方程两边关于X求导： ， （2），求答案：解：方程两边关于X求导5求下列函数的二阶导数：（1），求答案：（2），求及答案：，（一）导数计算题（1），求答案：（2），求答案：（3），求答案：（4），求答案： =（5），求答案：（6），求答案： = = = （7），求。答：（8），求答案：（二）不定积分计算题（1）答案：原式= =（2）答案：原式= =（3）答案：原式=（4）答案： （5）答案：原式=（6）答案：原式=（7）答
11、案：（8）原式= = =（三）定积分计算题（1）原式= =（2）原式= =（3）原式= =（4）原式= =（5）原式= = （6）原式=故：原式= （四）代数计算题1计算（1）=（2）（3）=2计算解 =3设矩阵，求。解 因为所以4设矩阵，确定的值，使最小。解： 所以当时，秩最小为2。5求矩阵的秩。解： 所以秩=26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解：所以（2）A =解：所以。7设矩阵，求解矩阵方程 8.求解下列线性方程组的一般解：（1）所以，方程的一般解为（其中是自由未知量）（2）由于秩()=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：（其中为自由未知量）。9.当为何值时，线性方程组有解，并求一般
12、解。解：原方程的增广矩阵变形过程为：所以当时，秩()=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为：10为何值时，方程组有唯一解、无穷多解或无解。解：原方程的增广矩阵变形过程为：讨论：（1）当为实数时，秩()=3=n=3，方程组有唯一解； （2）当时，秩()=2n=3，方程组有无穷多解；（3）当时，秩()=3秩()=2，方程组无解； (三)解答题1.计算下列不定积分（1）答案：= （2）答案：=（3）答案：=（4）答案：=（5）答案：=（6）答案：=（7）答案：=（8）答案：=2.计算下列定积分（1）答案：=+=（2）答案：=（3）答案：=2（=2（4）答案：=（5）答案：=（6）答案：=3=1计算
13、（1）=（2）（3）=2计算解 =3设矩阵，求。解 因为所以4设矩阵，确定的值，使最小。答案：当时，达到最小值。5求矩阵的秩。答案：。6求下列矩阵的逆矩阵：（1）答案 （2）A =答案 A-1 = 7设矩阵，求解矩阵方程答案： X=BA X = 1设矩阵，求解 因为 = =所以 = 2设矩阵 ，计解：= = = 3设矩阵A =，求解 因为 (A I )= 所以 A-1 = 4设矩阵A =，求逆矩阵因为(A I ) = 所以 A-1= 5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1解 因为AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 7解矩阵方程解 因为 即 所以，X = 8解矩阵方程解：因为
14、 即 所以，X = 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的并.解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) r()，所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解： 解因为系数矩 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12求下列线性方程组的一般解：解 因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.13解 因为系数矩阵A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一解 因为增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是
15、自由未知量 经济数学基础形成性考核册及参考答案微积分计算题 线性代数计算题1、 设矩阵，求。解：因为 所以，。2、设矩阵A =，I是3阶单位矩阵，求。解：因为，(I-A I ) = 所以=。3设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1解：因为AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 4、设矩阵，求解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4，此处从略。；所以，。5设矩阵，求解矩阵方程。解： 6.设矩阵，求.解：利用初等行变换得 即 由矩阵乘法得。1求线性方程组的一般解解：因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量）2求线性方程组的一般解解：因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量
16、） 3、当取何值时，齐次线性方程组有非0解？并求一般解。解：因为系数矩阵 所以当= 4时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为： （其中是自由未知量）。4、问当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解。解：方程组的增广矩阵所以当时，方程组有解；一般解为：（其中是自由未知量）5解：所以，方程组的一般解为：（其中是自由未知量）6求线性方程组.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 此时齐次方程组化为 得方程组的一般解为其中是自由未知量 7.当为何值时，线性方程组有解，并求一般解。解：所以，当时，有解。一般为：（其中是自由未知量）四、证明题1试证：若都与可交换，则，也与可交换。证明：，2试证
17、：对于任意方阵，是对称矩阵。提示：证明，3设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。提示：充分性：证明：因为 必要性：证明：因为对称，所以4设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。证明：=1求解下列可分离变量的微分方程：(1) 答案： （2）答案： 2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）答案：，代入公式锝= （2）答案： ，代入公式锝 3.求解下列微分方程的初值问题：(1) ,答案： ，把代入，C=，(2),答案：，代入公式锝，把代入，C= -e , 4.求解下列线性方程组的一般解：（1）答案：（其中是自由未知量）所以，方程的一般解为（其中是自由未知量）（2）答案：（其中是自由未知
18、量）5.当为何值时，线性方程组有解，并求一般解。答案： .当=8有解,（其中是自由未知量）5为何值时，方程组答案：当且时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当且时，方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：当时的总成本、平均成本和边际成本；当产量为多少时，平均成本最小？答案：（万元） , （万元/单位）,（万元/单位）,当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少答案： R(q)= , ,当产量为250个单位时可使利润达到
19、最大，且最大利润为（元）。（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案： =100（万元） , 当（百台）时可使平均成本达到最低.（4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，求： 产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？答案：, 当产量为500件时，利润最大. （元）即利润将减少25元. （1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：当时的总成本、平均成本和边际成本；当产量
20、为多少时，平均成本最小？答案： 平均成本函数为：（万元/单位） 边际成本为： 当时的总成本、平均成本和边际成本分别为： （万元/单位） （万元/单位）由平均成本函数求导得： 令得唯一驻点（个），（舍去）由实际问题可知，当产量为20个时，平均成本最小。（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少答案：解：由得收入函数 得利润函数：令 解得： 唯一驻点所以，当产量为250件时，利润最大，最大利润：(元)（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多
21、少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案：产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 (万元)成本函数为：又固定成本为36万元，所以(万元)平均成本函数为：(万元/百台)求平均成本函数的导数得：令得驻点，（舍去）由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低。（4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，求： 产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：求边际利润： 令得：（件）由实际问题可知，当产量为500件时利润最大；在最大利润产量的基础上再生产50件，利润的增量为：（元）即利润将减少25元
22、。五、应用题（本题20分） 1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？解：（1）总成本，平均成本，边际成本 所以，（万元）， （万元）（万元） （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当时，平均成本最小. 2.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：成本为：收益为：利润为：，令得，是惟一驻点，利润存在最大值，所以当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为（元）。3投产某产品的固定成本
23、为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：成本函数为：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为100（万元），令得，（负值舍去）。是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当（百台）时可使平均成本达到最低.3、投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/百台）。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。解：成本函数为：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为140（万元），令得，（负值舍去）。是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当（百台）时可使平均成本达到最低。4已知某
24、产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：边际利润为：令得，。是惟一驻点，最大利润存在，所以当产量为500件时，利润最大。 - 25（元）即利润将减少25元。5已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 = 当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即 C()= 又平均成本函数为 令 ， 解得= 3 (百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 6
25、、已知生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，收入函数为（万元），求使利润达到最大时的产量，如果在最大利润的产量的基础上再增加生产台，利润将会发生怎样的变化？解：边际利润为：令得，是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增加到5百台时，利润改变量为（万元） 即利润将减少4万元。7.设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中为产量，单位：百吨销售百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生产百吨，利润会发生什么变化？.解：因为边际成本为 ，边际利润令，得可以验证为利润函数的最大值点. 因此，当产量为百吨时利润最大. 当产量由百吨增加至百吨时，利润改变量为 （万元）即利润将减少1万元. 8.设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：当时的总成本和平均成本；当产量为多少时，平均成本最小？.解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， 令 ，得（舍去），可以验证是的最小值点，所以当时，平均成本最小 42 / 42
