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1、第五章 不可压缩 流体动力学基础,当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。流体的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来的就是连续性方程。,首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。,如图71 微元六面体,设该微元六面体中心点O（x, y, z）上流体质点的速度密度为 ，于是和 轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。,在 方向上， 时间通过EFGH面流入的流体质量为：,（a）,时间通过ABCD面流出的流体质量 ：,（b）,在 时间内，自垂直于x轴的两个面流出、流入的流体质量差为：,（c1）,同理可得 和 方向 时间内，流出、流入的流体质量差为:,（c2）,（c3）,因此，
2、 时间内，流出、流入整个六面体的流体质量差为,（c）,微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：,（d）,由质量守恒条件：,或,它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。,在定常流动中，由于,对于不可压缩流体（ =常数）,或,在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：,对于不可压缩流体,式中 为极径； 为极角。,球坐标系中的表示式为:,式中 为径矩； 为纬度； 为径度。,【例】 已知不可压缩流体运动速度 在 ， 两个轴方向的分量为 ， 。且在 处，有 。试求 轴方向的速度分量 。,【解】对不可压缩流体连续性方程为：,将已知条件代入上式，有,又由已知
3、条件对任何 ， ，当 时， 。故有,7.2 流体微团的运动分析,流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。,图7-2 流体微团运动速度分量,（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点具有相同的速度 。导致矩形ABCD平移x = t, y = t, 其ABCD的形状不变。（2）线变形运动：如图7-4（b）所示，线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的变化率（即线变形速率 和 ），导致矩形ABCD的变形量：,图7-4 流体微团
4、的平面运动,（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，当,当,矩形ABCD只发生角变形运动，如图7-4（c）所示。,当,矩形ABCD只发生旋转运动，形状不变。,在一般情况下,的同时，还会发生角变形运动。这两种运动由和所决定。,亦就是矩形ABCD在发生旋转运动,图7-4 流体微团的平面运动,于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量：,同理，沿x，y轴流体微团的旋转角速度分量分别为:,流体微团的旋转角速度定义为:,其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：,流体微团沿z轴的角变形速度分量：,同理，可有流体微团角变形速度分量及其模量为：,前面在流体微团的分析中，已给出O点的速度，与点O相距微
5、小矢径的点A( )的速度为 :,如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：,其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：,同理，有：,和,将式（7-8），（7-9）代入以上三式，便可将式（7-10）写成 ：,上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，该定理可简述为：,在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分：分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。,
6、7.3 有旋流动和无旋流动,根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。,数学条件：,当,当,无旋流动,有旋流动,通常以 是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。,在笛卡儿坐标系中：,即当流场速度同时满足：,时流动无旋。,需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。,如图7-5（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。,（a）,（b）,图7-5 流体微团运动轨迹,【例】
7、 某一流动速度场为 ， ，其中 是不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。,【解】 由于,所以该流动是有旋运动。,7.4 理想流体的旋涡运动,一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度,涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：,涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为 ：,在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。,1涡线:涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图7-7所示。,图7-7 涡线,图7-8 涡管,根据涡通矢量与涡线相切的条件，涡线的微分
8、方程为:,2涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图7-8所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。,3旋涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积dA，见图,其上流体微团的涡量为 ， 为dA的外法线方向，定义,为任意微元面积dA上的旋涡强度，也称涡通量。,任意面积A上的旋涡强度为：,二、速度环量、斯托克斯定理,1速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即:,速度环量是一代数量，它的正负与速度的
9、方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算。,图7-9 微元有向线段,2斯托克斯（Stokes）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即:,这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。,7.5 无旋流动,一 速度势函数,证明：,无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。,结论：,在笛卡儿坐标系中：,验证是否满足：,即：,式中 为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和
10、函数，故速度势是调和函数。,二 流函数,平面不可压缩流体流函数的基本性质：,等流函数线为流线；,当 常数时，,即：,不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋的还是无旋的流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数。,三 速度势函数和流函数的关系,7.6基本流动的流场,一、均匀等速流,二、点源和点汇,三、点涡,一 均匀等速流,流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。,图7-10 均匀等速流,二 点源和点汇,无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源，这个点称为源点；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇，这个点称为汇点。不论是点源还
11、是点汇，流场中只有径向速度，即,图7-11 源流和汇流,三 点涡,图7-12 点涡,势流叠加原理不可压缩平面无旋流动:势函数方程为：流函数方程为： 都是线性方程，线性方程的特点是解的可叠加性。这样，对于一个复杂的流动过程，我们就可以把它分解成若干个简单流动过程的叠加，而这些简单流动过程的解是已知的，它们的解的叠加就是复杂流动过程的解。,5.1不可压缩粘性流体的运动微分方程,一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导,在流场中取微小平行六面体微元，由于粘性的存在，每个面上任意点的表面力可以分解为法向应力和切向应力。,作用在微元体上的表面力,把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用在微元体上的表
12、面力在x方向的分量为：,作用于微元体个面上的x轴方向的表面力,作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的表面力,同理，表面力在y方向的分量为：表面力在z方向的分量为：,作用在微元体上的质量力,用fx，fy，fz表示单位质量流体上所受的质量力沿x，y，z轴方向的分量，则六面体流体微元在x方向的质量力为：,根据牛顿第二定律，可写出沿x方向的运动微分方程：,这里 ：,是流体微团的x方向的加速度。,同理可得沿y、z轴方向的运动微分方程,于是有： 这就是微分形式的运动方程。,二、本构方程,本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中，建立了牛顿流体的本构方
13、程： 上式也称为广义牛顿摩擦定律,沿x方向的运动微分方程可写为：,化简为 ：,三、纳维斯托克斯方程（简称NS方程）,于是有 上式称纳维斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流体运动微分方程的又一种形式。,对于不可压流体，其连续方程为：对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方程为：,并考虑到拉普拉斯算子： 不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：,矢量形式为：,如果质量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为：,对理想流动，认为流体无粘性， ，这时运动方程简化为欧拉方程： 或矢量形式：,当流体静止不动时， ，则运动方程简化为：,对不可压流体：方程
14、个数： n4 （连续方程NS方程）未知数： m4 （V，p） 所以方程组封闭。 在流动解解出的基础上，再利用能量方程求解温度场。,四、方程组的封闭性,1 初始条件 ： 给定初始时刻的流动状态参数及温度场 （V，p，T ， ）2 边界条件： a 无穷远处条件：无穷远处的流场认为是未受扰动的均匀状态。 b 固壁处：V流V固，T流T固 c 两种液体的分界面处条件：V1V2，T1T2，p1p2 d 液体与大气的分界面：p液Pa,五、定解条件,(1) =常数； =常数,(2)定常流动：,(3)充分发展流动:,(4)质量力为重力:,已知条件：,六、NS方程的求解,例：两平行平板间的粘性流动,基本方程：连续性方程与N-S方程,简化得：,由第二式,第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。,1速度分布,y = 0，u = 0，C2= 0,y = b，u = 0，,最大速度,积分得,边界条件：,常数,取p为截面平均压强,流量,平均速度,壁面切应力,切应力分布,
