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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
2、： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：公司的投资问题摘要本文在认真分析题意的基础上提出了多个模型，求解公司如何利用自己有限的金融资金20亿，在考虑投资风险与不考虑风险的前提下，对利润最大化进行了研究。对问题一，我们在
3、较为理想的情况下得出利润最大化方案，为此，我们建立单目标多元线性回归方程，并利用了lingo软件求解的第五年的最大利润为17.41405亿。具体投资方案见表三。对问题二，我们先用时间序列模型和灰色预测模型分别对表2、表3的未来五年利润率进行了预测和比较。时间序列模型的结果受个别数据影响较小，因此选用时间序列模型的结果。再建立起方差分析模型对结果进行了分析，算出对应的风险损失率。具体数据见表四、表五、表六、表七、表八、表九。对问题三，建立的是单目标线性规划模型，在问题一的基础上考虑了项目1的捐赠和项目5的固定可重复投资以及各项目之间的投资对利润率也会产生响。利用问题二的预测结果，得五年末的最大利
4、润为55.6481亿，具体投资方案见表十。对问题四，考虑到投资风险，利用问题二中计算的结果，把投资风险也作为一个目标进行规划，然后把双目标线性规划转化为单目标线性规划，得五年末的最大利润为47.5476亿，具体投资方案见表十一。对问题五，我们查阅了06-10年的存贷款利率，在问题三的基础上，根据题目条件列出约束方程，解得五年末的最大利润为42.3480亿，具体投资方案见表十四。关键词 单目标多元线性规划 时间序列模型 灰色预测模型一 问题重述某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资
5、，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见附录1。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项
6、目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若
7、干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?二、问题分析本题旨在如何最大限度的利用过去20年的数据，在公司现有资金的基础上，通过合理的预测和不同方案的组合，使公司在未来5年内收益最大。对问题一，针对该投资问题，如何确定投资方案，使得第五年末所得利润最大。可知，我们要用目标规划来解决此问题，首先我们要进行合理的假设后确定目标函数，其次，要确定约束条件，最后，用软件解决此问题，并对所得结果进行
8、合理的分析。对问题二，由数据分析可得，数据变化呈上下波动，我们尝试用时间序列模型和灰色预测模型分别对表2、表3的未来五年利润率进行了预测和比较。对两组结果进行分析，选择一组较好的数据。再建立起方差分析模型对所选数据进行了分析，算出对应的风险损失率。对问题三，在问题一的基础上考虑了项目1的捐赠和项目5的固定可重复投资以及各项目之间的投资对利润率也会产生影响。利用问题二的预测结果，列出相应的约束条件，算出结果。 对问题四，我们引入了投资风险，把双目标规划转化为单目标规划，利用问题二预测的风险损失率，即可算出结果。 对问题五，结合当时的具体实际，在问题四的基础上改进，即可求得结果。三 模型假设（1）
9、未来五年的投资环境稳定，没有突发事件（2）前一年的利润可以用于下一年的投资（3）每个项目的投资上限为当年的上限而不是在同一项目上累计投资的上限（4）存贷款只在每年年初进行，且期限均为一年，无手续费四 符号说明 第i年投资第j个项目的投资额（亿元）(i=1,2,5,j=1,2,8) 第j 个项目的投资额上限（亿元） 第j个项目的到期利润率 第五年末时的本利（亿元）n 第i年投资后所剩余的钱数（i=1,2,3,4） 第i个项目的风险损失率(i=1，2，8) 第i个项目第j年的到期利润率(i=1，2，8，j=2006，2007，2010) 第i个项目的未来五年的平均到期利润率 第i个项目（i=1,2
10、，8） 项目五第i年投资的重复次数(i=1，2，3) 同时投资第i个项目和第j个项目的到期利润率 同时投资第i个、第j个和第k个项目的到期利润率 第i年存款数目 第i年贷款数目 第i年存款利率 第i年贷款利率五 数据处理与分析我们首先对附录中所给的数据进行处理，分别将各投资项目独立投资和一些投资项目同时投资的投资额及到期利润换算成对应的利润率，结果如表一和表二所示。表一 各投资项目独立投资时历年的利润率项目1234567819860.15950.02190.31070.1581-1.82791.85273.23791.799919870.16740.02380.43590.19410.6743
11、-0.2122.11.945819880.15160.11120.38110.1641-0.6035-1.34097.28632.300619890.14830.0960.1320.23942.00320.66912.6132-1.775719900.15470.06890.53710.20413.58521.371-3.2187-0.511819910.17270.12190.42680.21370.7418-1.43852.86360.431419920.13040.11960.24230.18011.61010.2004-9.54454.225219930.21350.17480.458
12、10.32141.64730.94755.61744.064719940.08580.16220.37290.23911.3885-0.3611-5.78081.501319950.15090.1810.20290.17411.39260.306113.5173.028319960.13480.1930.54920.33611.37811.3683-3.15781.011419970.14720.15210.23330.29420.6990.751518.4492.49419980.18430.18960.25130.33170.7371.3867-4.277-1.198119990.1037
13、0.18550.25560.3082-0.16141.4925-4.8448-1.371720000.14450.21070.51920.25981.03991.29992.82965.18620010.18170.24580.51640.3211.21551.3099-9.60762.673620020.1470.19730.26770.34120.64831.045717.547-2.139420030.10390.18120.2640.370.92911.1083.901920040.19080.18040.31830.415920050.13080.1548表二 一些投资项目同时投资时
14、历年的利润率项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656819860.238220.466720.331340.873631.53450.84312-0.6298819870.431560.448730.402270.53725-0.516182.76772.747419880.490920.428860.0741053.15930.801940.41334-0.7456119890.32370.411620.0852750.605110.744170.209552.644219900.29390.470470.096624-1.0626-0.13698-0.76
15、648-0.3022819910.457560.48561.48931.46862.980.891491.149619920.675430.438240.0547140.165270.81727-0.0272162.39419930.472120.48190.92467-0.655190.56719-0.0525494.050419940.325540.45867-0.193380.38031.43983.00872.32119950.539580.393021.24510.0108720.705780.424211.653819960.639120.323210.181990.20187-0
16、.510611.51492.584719970.309620.44849-0.016682.1279-0.578290.783281.706419980.731870.393910.97240.361911.01590.871922.60319990.56240.436411.9492-0.65438-0.248332.0649-0.5438620000.26360.391071.00631.69440.880740.387382.389520010.520860.382091.3142-1.08411.7369-0.74814-1.006420020.616690.453070.284973
17、.3110.615030.168810.8262620030.4650.441851.27851.54932.18360.916790.7111320040.470870.474482005由于单独看数据不能很好的把握对各个年份的变化，因此依据表一、表二数据，以时间为横坐标（以序号1-20表示）绘图如下：由图一可得，独立投资时项目七的波动最大，其次是项目八；波动最小的是项目三和项目四。分析图二，联合投资时项目6和8的波动较大，项目3和4的波动较小。图一和图二对比分析，对比相同的项目，总体上联合投资利润率较高，波动也较大。这与实际情况是相符的，分开投资风险较小，联合投资利润较高，风险也大。五 模
18、型的建立与求解5.1 问题一 不考虑投资风险的利润最大化由于项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利，想要在第五年末利润达到最大，只需在第五年末使利本达到最大即可。故可建立如下单目标决策目标函数：max=(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)约束条件：（1） 各项目投资要满足投资上限 项目1、2五年内每年应满足的投资上限 (i=1,2,5,j=1,2) 项目3、4在前四年
19、内每年应满足的投资上限 (i=1,2,4,j=3,4) 项目5、6在前3年内每年应满足的投资上限 (i=1,2,3,j=5,6) 项目7在第二年满足的投资上限 项目8在第三年应满足的投资上限（2） 每一年的投资额应小于上一年的本利，即满足以下约束条件： 第一年应满足的投资条件：20 第二年应满足的投资条件：(1+)+ 第三年应满足的投资条件：+(1+)+(1+)+ 第四年应满足的投资条件：(1+)+(1+)+(1+)+ 第五年应满足的投资条件：(1+)+(1+)+(1+)+综上所述，得到的问题一的单目标最优化模型为：目标函数：max =(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)s.t 利
20、用lingo，我们可以得到=37.41405亿元，故五年内的最大利润为17.41405亿元，各项目的投资情况见表三。 表三 各项目的投资方案（亿）年份项目第一年第二年第三年第四年第五年项目一5.154545 5.521859 项目二3 0.35 3 项目三3.845455 4 项目四3 0.61681823 项目五333 项目六222 项目七 4 项目八 3 在不考虑投资风险的情况下，要是总利润最大，应将投资投在到期利润率最大的项目上，从表一中数据可以看出，这与实际是吻合的。因此，该模型真实可靠。5.2 问题二 预测未来五年的利润率和风险损失率5.2.1时间序列模型由图一和图二可得，各项目随时
21、间呈循环变动，因此我们考虑建立时间序列模型进行预测。数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，而且考虑到最近年份对下年的影响较大，所以对最近年份的权重较大，采用加权移动平均法进行预测。取移动平均项 n=5，权值 w=1/10 1/10 1/5 1/5 2/5;设时间序列为 加权移动平均公式为 利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为 用matlab计算结果如表四、表五所示。表四 各项目独立投资时的利润率项目1234567820060.151910.185010.365060.361920.882951.20052.35672.051420070.145790.180
22、580.330270.36330.816811.16175.91581.453120080.141640.1790.325990.369150.844391.16774.34952.189220090.152250.177780.332850.375550.814131.1824.21031.953220100.145160.174430.340340.368280.836111.18294.09322.0753平均值0.14740.17940.33890.36760.83891.17904.18511.9444表五 一些项目同时投资时的利润率项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项
23、目5、6、8年份345656820060.485640.436761.09441.05411.40150.319950.3658320070.500750.444930.960251.63121.28910.433930.5893820080.48230.445131.0871.431.48670.550040.5784520090.480590.44961.08371.38171.36750.545660.5610720100.47690.445011.07491.37851.37970.506430.5944平均值 0.4852 0.44431.06001.37511.38490.4712
24、0.53785.2.2 灰色理论GM（1,1）改进模型我们以其独立投资情况为例进行说明对于每一列,每年的利润率数据记为按照一次的构造GM（1,1）模型的方法记为的1-AGO（一次累加生成）序列， 令为的紧邻均值（MEAN）生成序列其中取为0.5，则其GM（1,1）方程模型为利用最小二乘法可求的a,b其特解 则 由于传统的模型往往计算误差较大，无法满足要求，而通过二次模拟改进后的预测模型，则大大提高了计算精度。以下是二次模拟灰色预测模型的建模过程：将一次模拟所得的模型记为根据第一次模拟所得的a值及原始1-AGO数列对M和N进行估计。将原方程组写成矩阵形式其中由最小二乘法可得求出M和N后即可得到更
25、精确的二次拟合参数模型则经Matlab软件进行处理得到未来五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率如下表所示 表六 灰色预测独立投资项目未来五年的利润率 项目1234567820060.17770.19440.37830.27632.35140.05220.23176.007620070.14330.18350.41660.28022.05960.1011-0.49793.889120080.14110.21810.35170.22511.07840.02732.94654.943320090.12990.23690.33510.29600.84641.79510.173631
26、30520100.12790.19780.32680.31411.25211.552840.08322.3917平均值0.14400.20610.36170.27831.51760.70578.58744.0724表七 灰色预测投资项目同时投资时未来五年的利润率 项目年份同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656820060.34580.48143.91420.48907.15570.00160.310320070.62870.47800.77120.00821.85030.06853.362820080.68130.49311.11050.09381.24990.
27、08445.279020090.49480.45840.35670.15591.400613.5134.81402010平均值 0.43970.51810.40780.46370.32551.29560.00010.14940.30012.39131.55353.04422.75473.3042结果分析：分析时间序列模拟的结果和灰色预测模拟的结果，发现时间序列的模拟结果受个别数据的影响较小，波动不大，总体上反映了利润率的变化趋势；灰色模拟的结果受个别数据的影响较大，个别数据波动很大，个别数据出现值如40.0832，这与实际情况是不相符的。综上所述，时间序列模型在时间序列较为平稳的情况下更能反映
28、总体的变化趋势，因而，下面计算将采用时间序列模型的预测值。5.2.3 方差分析风险，是指对未来投资收益的不确定性，在投资中可能遭受收益损失甚至本金损失的风险。这种不确定性越大，在投资中的风险也就越大，遭受损失的可能性也就越大。为了准确的描述这种不确定性，我们采用标准差的波动情况来定义出未来五年的风险损失率： =利用以上预测出未来五年的到期利润率，用matlab算出未来五年的各项目独立投资及项目之间相互影响下的风险损失率，见下表： 表八 各项目独立投资时的风险损失率项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八风险损失率0.00410.00350.01390.00480.02480.01351
29、.12910.2569 表九 一些项目相互影响下的风险损失率项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8 3 4 5 6 5 6 8风险损失率0.00830.00420.05030.18530.06350.08630.0868结果分析：独立投资时，项目七的风险损失率是最大的，同时由表一可得，项目七的利润率也是最大的，这与实际情况是相符合的。同时可以看出，相互影响下的风险损失率也比独立投资时的大。5.3 问题三 不考虑投资风险的未来五年收益由于项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，
30、要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利，想要在第五年末利润达到最大，只需在第五年末使利本达到最大即可。故可建立如下单目标决策，目标函数：max=(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)约束条件：（3） 各项目投资要满足投资上限 项目1、2五年内每年应满足的投资上限 (i=1,2,5,j=1,2) 项目3、4在前四年内每年应满足的投资上限 (i=1,2,4,j=3,4) 项目5、6在前3年内每年应满足的投资上限 (i=1,2,3,j=5,6) 项目7在第二年满足的投资上限 项目8在第三年应满足的投资上限（4
31、） 每一年的投资额应小于等于上一年的本利和余额，即满足以下约束条件： 第一年应满足的投资条件：20 (2) 第二年应满足的投资条件：(1+) + (2) 第三年应满足的投资条件：+(1+)+(1+)+ (2) 第四年应满足的投资条件：(1+)+(1+)+(1+)+ (2) 第五年应满足的投资条件：(1+)+(1+)+(1+)+ (2)（5） 项目五的投资额固定，为500万，可重复投资，则第i年项目五投资额为： =0.05 (i=1，2，3)（6） 当一些项目相互影响时，利润率的选择： 同时投资项目3、4时=，= （0） 同时投资项目5、6时=，= （0，=0） 同时投资项目5、6、8时=，=，
32、= （0）综上所述，得到的问题三的单目标最优化模型为：目标函数：max =(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)-20s.t用lingo我们得到最大利润为48.5238亿，各项目的投资方案见下表。 表十 各项目的投资方案（亿）年份项目第一年第二年第三年第四年第五年项目一2.29170026项目二6005.97456项目三3.500 3.50项目四1.25300030项目五32.75000项目六3.97804400项目七03000项目八003005.4 问题四 考虑投资风险的利润最大化相对于题三，问题四要求我们在风险最小的情况下确定使利润最大的方案，为此，我们建立多目标线性规划模型 由
33、假设可知我们用所投资的项目中最大的一个风险来度量总体风险可因此上式可简化为利用下式我们将多目标规划转换为单目标问题max=(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)-建立约束条件 利用lingo语言求解，第五年的收益为47.5476亿，各项目投资方案如表十一所示。表十一 各项目投资方案（亿）项目 年份1234567820063.535363.530400200700.4150.767403430200800003403200903.45373.5300002010660000005.5 问题五 存贷机制下的利润最大化问题五在问题四基础上引入存贷机制首先我们查阅了06-10年央行的存贷款利
34、率，如下表所示表十二 06-10年央行存贷款利率(%)20062007200820092010存款利率2.252.524.142.252.75贷款利率5.586.127.475.315.31确定目标函数max=(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)-20-约束条件（7） 各项目投资要满足投资上限，同时投资，项目五的投资对应的约束条件与问题三相同即 (i=1,2,5,j=1,2) (i=1,2,4,j=3,4) (i=1,2,3,j=5,6)=0.05 (i=1，2，3)=，= （0）=，= （0，=0）=，=，= （0）（8） 每一年的投资额应小于等于上一年的本利和余额，即满足以下约束条件： 第一年应满足的投资条件： (2)第二年应满足的投资条件： (2) 第三年应满足的投资条件： （） （）第四年应满足的投资条件（）（）第五年应满足的投资条件综上所述，得到的问题五的单目标最优化模型为：目标函数：max=(1+)+(1+)+(1+)+(1+)+(1+)-20-s.t利用lingo软件算出五年末的最大利润为42.3580亿，投资方案如下表所示表十三 06-10存贷款额度（亿）年份20062007200820092010存款额0002.84470.1106贷款额02.35841.544500表十四 各项投资方案项目 年份12345678200666003
