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1、一、一元函数唯一驻点处的极值就是最值,09年、10年、05年,知识点：一元函数求极值,10、要做一个容积为V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时，用料最省？,解：设容器的高与底面半径分别为 ,其表面积为S，则,，又因为,把 带入，得,令 ，,得唯一驻点，,根据实际意义可知 即为表面积的极小值点，此时,故当容器的高与底面半径之比为2时用料最省。,09、靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为64平方米的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小。,解：设与已知墙面平行的墙的长度为 ，则另二面墙的长为,故三面墙的总长为,根据实际意义可知 ，当 时取得最小值,此
2、时三面墙的长度分别为,二、二元函数唯一驻点处的极值就是最值,03年、07年、08年,知识点：二元函数求极值,08、一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积A最大，求腰长 和底边的倾角,解：根据题意知梯形的上底和下底分别为,等腰梯形的面积,令,显然 不合题意，在定义域内得唯一驻点,所以，当 时，面积A最大,07、某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为V，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元，问长、宽、高各为多少时，才能使污水处理池的造价最低？,解：设长方体的长、宽分别为x,y，则高为 ，又造价为z,令,得唯一驻点,根据题意可知造
3、价一定有最小值，故 就是造价最小的取值，此时高为,解：根据题意，总利润为,即,所以（120,80）为驻点,所以,因此，,又,所以（120，80）为极大值点，根据实际意义，此极大值为最大值，即x=120,y=80时，利润L最大,三、条件极值与拉格朗日乘数法,06年、01年,06、某公司的甲乙两厂生产同一种产品月产量分别为x,y（千件），甲厂的月生产成本是 ，乙厂的月生产成本是 ，若要求该产品每月总产量为8（千件），并使总成本最小，求甲乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。,解：用拉格朗日乘数法,总成本,约束条件,作辅助函数,令,解得,由于驻点（5,3）唯一，根据实际情况有最小值，所以当x=5千件，
4、y=3千件时，总成本最小，最小成本 千件,11、求点（0，1）到抛物线 上的点的距离的平方的最小值。,解：令（0,1）到抛物线 上的距离为d,例：某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R和电视广告费x和报纸广告费y有如下关系：（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2）如果总广告费1.5，求相应的广告策略,解（1）利润最大的广告策略，利润函数为,解得,因为驻点唯一，又因该问题最在最大利润，所以最大利润只能在驻点处取得，所以最大利润为：,（2）此问题为条件极值，即求利润函数L在条件下的最大值，构造拉格朗日函数,解得,因 是唯一可能取得极值的点，由此问题最大值一定存在，所以 为最大值,
