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1、专题七 二次函数综合题,类型五全等三角形的存在性问题(铜仁2017.25(2)【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了,典例精讲,例(2017铜仁25(1)(2)如图，抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0，2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三点不在同一直线上)(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；,例题图,【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达式，通过解方程组，可得到b，c的值,解：将点A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc中，得
2、 ，解得 ，二次函数表达式为yx2x2；,(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得MP1P2与MCB全等，并求出P1、P2的坐标,【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线的对称性，分两种情况：分别作B、C点关于对称轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；作BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点,例题图,解：令yx2x20，得x11，x22，所以点C的坐标为(2，0)易得抛物线对称轴为x ，如解图，取点C关于对称轴l的对称点A，点B关于对称轴l的对称点为B(1，2)，则当点P1，P2与A，B重合时，有MP1P2与MBC全等，此时，P1(1，0)，P2(1，2),例题解图,过点M作MP
3、1BC，交抛物线于点P1，如解图，若MP1CCBM，则MP1CB.四边形MBCP1为平行四边形，xMxBxP1xC； xMxBxC 02 .将x 代入yx2x2中，得y ，P1( ， )，此时P2与C点重合，P1 ( ， ) ，P2(2，0)综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(1，0)，P2(1，2)；P1 ( ， ) ，P2(2，0),例题解图,针对演练,1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)直线yxn与抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x
4、轴交于点F，且BE4EC.求n的值；连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由,第1题图,解：(1)抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，将A(1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得 ，解得 ，该抛物线的解析式为y x2 x3；,(2) 如解图，过点E作EEx轴于点E，EEOC， ，BE4CE，BE4OE，设点E的坐标为(x，y)，OEx，BE4x.点B坐标为(2，0)，OB2，x4x2，x ，抛物线y x2 x3与y轴交于点C，当x0时，y3，C(0，3),第1题解图,设直线BC的解析式为ykxb1，B(2，0)，C(0，3)，
5、将B、C两点代入解析式，得 ，解得k ，直线BC的解析式为y x3.当x 时，代入直线BC的解析式，得y ，E( ， )点E在直线yxn上， n ，n2；,全等；理由如下：直线EF的解析式为yx2，当y0时，x2，F(2，0)，OF2.A(1，0)，OA1，AF1，抛物线与直线yx2相交于点D，联立方程，得 ，解得 或 .点D在第四象限，点D的坐标为(1，3),点C的坐标为(0，3)，CDx轴，CD1，AFGCDG，FAGDCG，CDAF1，AGFCGD(ASA),2. 如图，一次函数y x2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y x2bxc经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度
6、沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒(1)求此抛物线的表达式；(2)求当APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，APQ的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得APTAPO？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由,第2题图,解：(1)把x0代入y x2中，得y2.把y0代入y x2中，得x2 .A(2 ，0)，B(0，2)，把A(2 ，0)，B(0，2)分别代入y x2bxc中，得b ，c2，抛物线的表达式为y x2 x2；,(2)OA2 ，OB2，由勾股
7、定理，得AB 4，BAO30.运动t秒后，AQt，BP2t.由APQ为等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三种情况，,当QPQA时，如解图，过点Q作QDAB于点D，则D为AP的中点在RtADQ中，QD AQ t，ADPD AQ t，AP t，BPAPAB，2t t4.解得t84 ；,第2题解图,当APAQ时，()若点P在x轴上方的直线AB上，APt，BP2t，BPAPAB，t2t4，解得t .()若点P在x轴下方的直线AB上，APBPABAQ，2t4t，解得t4；,当PAPQ时，如解图，过点P作PEAO于点E.则AE AQ t，在RtPEA中，PE AE t.AP2PE t.BPAPAB
8、，2t t4.解得t .综上所述，当APQ为等腰三角形时，t的值为84 或 或4或 ；,第2题解图,(3)如解图，过点P作PFAO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.PF为APQ底边AQ上的高AP42t，BAO30，PF AP2t.SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 .当t1时，APQ的面积最大此时点P为AB的中点，且P( ，1)连接OP，则OPAPBP，点P( ，1)，点T的横坐标为 ，,第2题解图,将x 代入抛物线的解析式，得y3.TPOP2.在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2 ，AOTA.APTAPO.存在点T，使APTAPO，点T的坐标为( ，3),类型六切线问题(遵
9、义2015.27(3)；铜仁2015.23(3)【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：已知直线与圆相切的相关计算；已知直线与圆相切，求直线解析式对这两种问题，一般解题方法如下：已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定；若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标，得到直线解析式,典例精讲,例如图，抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(2，0
10、)，与y轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式；【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，将C(0，2)代入即可得解,例题图,解：抛物线过点A(4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得2a4(2)，即a ，所求抛物线的解析式为y (x4)(x2) x2 x2；,(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出ACD的面积，且由题意知yD0，将ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解,例题图,解：依题意可设D(x
11、， x2 x2)(4x0)，如解图，连接AC，过点D作DFx轴交AC于点F，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，将点A(4，0)，C(0，2)代入，得 ，解得 ，直线AC的解析式为y x2，F(x， x2)，,SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF) (xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4( x2 x2 x2) x22x (x2)22， 0，4x0，当x2时，SADC有最大值，最大值为2，此时D(2，2)；,例题解图,(3)以AB为直径作M，直线l经过点E(1，5)，并且与M相切，求直线l的解析式【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为F，由题可得圆心点M坐
12、标、半径长，点M与E为平行于y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题有两种情况,例题图,解：如解图，以AB为直径作M，且由解图易知，存在两条过点E且与M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ，AB6，以AB为直径的M的半径为3，即M(1，0)，设切点Q坐标为(m，n)，且m0，MQEQ，ME5，MQ3，由勾股定理得EQ 4， ，解得 或 (舍去)，点Q( ， )，同理可得点P( ， )，,例题解图,设直线l1和直线l2的解析式分别为y1k1xb1，y2k2xb2，则 ，解得 ； ，解得 .直线l1、l2的解析式分别是y1
13、x ，y2 x .直线l的解析式是y x 或y x .,针对演练,1. 如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE .(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD的外接圆的切线,第1题图,(1)解：抛物线的解析式为yax2bx3，对称轴为直线x1，x 1，即b2a，点A(3，0)在抛物线上，9a3b30，联立得 ，解得 ，抛物线的解析式为yx22x3.当x1时，y1234，顶点D的坐标为(1，4)；,(2)证明：点C是抛物线yx22x3与y轴的交点，点C的坐标为
14、(0，3)，AC3 ，CD ，AD2 ，AC2CD2AD2，ACD是直角三角形，且ACD90，AD是ACD外接圆的直径如解图，过点E作EFCD于点F，tanECD 1，ECD45，EFCF CE ，,第1题解图,CD ，DFCDCF ，tanEDF ，tanCAD tanCDE，CADCDE，CDECDACDACAD90，即EDA90，DE是ADC的外接圆的切线,2. 如图，抛物线yax2bxc(c0)经过x轴上的两点A(x1，0)、B(x2，0)和y轴上的点C(0， )，P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b a，AB2 .(1)求抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物
15、线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；(3)设直线BD交P于另一点E，求经过点E的P的切线的解析式,第2题图,解：(1)y轴上的点C(0， )，c ，由题意知，b a，AB2 ，令ax2 ax 0，|x1x2|2 ，解得a ，b ；抛物线的解析式是：y x2 x ；,(2)直线BD经过圆心P.理由如下：由(1)知对称轴为x ，D( ， )，,令 x2 x 0，得x1 ，x2 ，即A( ，0)，B( ，0)，则直线BD的解析式为y x ，如解图，连接BP，设P的半径为R，根据勾股定理知BP2OB2OP2，R2( )2( R)2，解得R1，则OPOCR 1 ，P(0， )，点P的坐标满足直线BD的解析式y x .直线BD经过圆心P；,第2题解图,(3)如解图，过点E作EFy轴于点F，得OPBFPE，E( ，1)，设经过E点P的切线L交y轴于点Q.则PEQ90，EFPQ，PE2PEPQ，PQ2，Q(0， )，P的切线的解析式为y x .,
