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第五节 两个重要极限与 无穷小的比较,一、极限存在准则,二、两个重要极限,三、无穷小的比较,注：准则1 （夹逼准则）对 A=也成立。,一、极限存在准则,那末,例1,解,由夹逼定理得,二、两个重要极限,第一个重要极限,圆心角,作单位圆的切线,证毕。,得,即,时成立。,所以,注：在求与三角函数比有关的 极限时常用到此极限。,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,定义：,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,注: 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。,第二个重要极限,请共同看第17页的表格，观察其趋势。,此外，因,故还有,注： 常用此极限求幂指型函数的 极限。,例11,解,例12,解,例13,解,例14,解,三、无穷小的比较,无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：,出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.,例如,不可比.,观察各极限,定义:,例1,例,解,常用等价无穷小:,例3 求极限,解,例5,解,例6,解,例7,解,解,错,注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.,
