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1、二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,7.2 数量积 向量积,一、两向量的数量积,设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移.,数量积的物理背景,由物理学知道, 力F所作的功为W|F|s|cos , 其中 为F与s的夹角.,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab|a|b|cos .,数量积的定义,根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.,一、两向量的数量积,数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a, b),当a0时, |b|cos(a, b)是向量b在向量a的方向
2、上的投影, 于是ab|a|Prjab. 同理, 当b0时, ab|b|Prjba.,所以,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab|a|b|cos .,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的性质 (1) aa|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则abab0.,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab|a|b|cos .,数量积的定义,一、两
3、向量的数量积,数量积的运算律 (1)交换律: abba; (2)分配律: (ab)cacbc.,(3)(a)ba(b)(ab), (a)(b)(ab), 其中、为数.,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab|a|b|cos .,数量积的定义,一、两向量的数量积,例1 试用向量证明三角形的余弦定理.,要证c2=a2+b2-2abcosq .,则有 ca-b, 从而 |c|2cc(a-b)(a-b) aa+bb-2ab |a|2+|b|2-2|a|b|cos(a, b), 即 c2a2+b2-2abcosq.,证明,在DA
4、BC中,BCAq, |CB|=a, |CA|=b, |AB|=c,提示：,数量积的坐标表示,aaxiay jazk, bbxiby jbzk, ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz .,abaxbxaybyazbz .,设a(ax ay az ) b(bx by bz ) 则,数量积的坐标表示,abaxbxaybyazbz .,设a(ax ay az ) a(bx by bz ) 则,设(a b) 则当a0、b0时, 有,向量夹角余弦
5、的坐标表示,提示 a b|a|b|cos ,例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.,从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.,因为 ab1110011,b(2, 1, 2)(1, 1, 1),a(2, 2, 1)(1, 1, 1),(1, 1, 0),(1, 0, 1).,解,从而, 所求液体的质量为 P=rAvn.,体积为 A|v|cosq=Avn.,这柱体的高为 |v|cosq,解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体.,例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区
6、域A, n为垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).,二、两向量的向量积,设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c|a|b|sin(a, b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.,向量积的定义,右手规则,那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即cab.,向量积的定义,二、两向量的向量积,向量a与b的向量积cab: |c|a|b|sin(a,b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.,向量积的性质 (1) aa0; (2) 对于两个非零向
7、量a、b, 如果ab0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a/bab0.,在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki?,(1) 交换律: abba; (2) 分配律: (ab)cacbc; (3) (a)ba(b)(ab)(为数).,向量积的运算律,讨论：,提示：,iijjkk0, ijk, jki, kij.,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则,提示：,ab,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,azbxkiazbykj.,ab(axiay jaz k)(b
8、xiby jbzk),axbyijaxbzik,aybx jiaybz jk,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,iijjkk0, ijk, jki, kij.,aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi,利用三阶行列式符号, 上式可写成,记忆方法,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则,ab,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,例4 设a2i3jk bij3k , 计算ab .,设aaxi
9、ay jazk, bbxiby jbzk, 则,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,解 :,解 :,例5 已知 求OAB的面积,根据向量积的几何意义 表示以 和,为邻边的平行四边形的面积 于是OAB的面积为,因为,所以三角形OAB的面积为,提示：,例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.,刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向.,解,设线速度为v, 那么由物理学可知 |v|w|a|w|r|sin ;,a|r|sin .,v垂直于w与r, 且v的指向是使w、r、v符合右手规则. 因此有vwr.,例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.,解,轴上任取一点O作向量r , 并以 表示,设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l,w与r的夹角, 那么,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,小结,
