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1、复习：,排队规则,服务规则,排队系统的三个基本组成部分. 输入过程 （有限、无限；单个、成批；确定型、随机型。,排队规则 等待制、损失制、混合制,服务机构 1、机构形式：单列、多列、服务台的数量2、服务方式： 单个、成批3、服务时间：确定型、随机型,排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标： 系统中顾客数(队长)L； 排队等待的顾客数(排队长)Lq； 顾客在系统中全部时间(逗留时间)W； 顾客排队等待时间Wq。,排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N A 顾客到达间隔时间概率分布; B 服务时间的概率分布;
2、 C 服务台数； m 顾客源总数 N 系统内顾客的容量,排队系统的常见分布,1、泊松分布 设N(t)表示在时间区间t,t+t)内到达的顾客数，是随机变量。当N(t)满足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间t,t+t)内到达的顾客数N(t)，只与区间长度t有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间t,t+t)内到达的顾客数N(t)，与t以前到达的顾客数独立。,(3)普通性 在充分短的时间区间t内，到达两个或两个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即,其中表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。,在长为 t 的时间内到达n个顾客的概率为：
3、,当t=1时，,表示单位时间内到达n个顾客的概率。,容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为。,2、负指数分布,当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布。,顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布,其中表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率。,例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时，每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的到达数是否服从泊松分布。,患者在单位时间内到达数的频数分布,1、原理,判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）之差是否由抽样误差所引起。,注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！
4、,2、计算公式,为参数的个数,2、计算公式,卡方分布下的检验水准及其临界值,接受假设，即患者到达数的经验分布适合=2.1的泊松分布。,第二节 单服务台M/M/1排队模型,第八章 排队论,M/M/1/ 模型,1、模型条件,（1）输入过程顾客源是无限的，单个到来，到达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则单队，且队长没有限制，先到先服务；（3）服务机构单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的负指数分布 。,排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为,平均服务率为,负指数分布排队系统（M/M/1/）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：,类似可得,由概
5、率性质可知，,对于MM1/模型有如下公式：,例8-2 设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服从指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排队系统的状态概率和运行指标。,解：这是一个M/M/1/系统，单列，FCFS规则,根据题意已知，,（1）药剂员空闲率,（2）队长,若按每天8小时工作时间计算，该药剂员每天的空闲时间约有80.1667=1.33小时。,（3）等待队长,（4）平均等待时间,（5）平均逗留时间,（6）系统内有n个患者取药的概率,如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为病人准备多少
6、座位？,即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。,例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机型的固定费用C1，操作费C2，服务率见表。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元，试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+逗留损失费）最低。,第三节 多服务台M/M/排队模型,第八章 排队论,一、M/M/C/ 模型,1、模型条件,（1）输入过程顾客源是无限的，单个到来，到达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则单队，且队长没有限制，先到先服务；（3
7、）服务机构多服务台且相互独立，服务时间的长短是随机的，平均服务率相同，服从相同的负指数分布 。,1、状态概率,2、主要运行指标,例8-6 某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后排成一列，一次就诊。求：4台一起同时空闲的概率计算系统的数量指标；患者到达后必须等待的概率。,二、M/M/C模型与C个M/M/1模型的比较,例 某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号
8、，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/C型的排队服务模型。求：该系统的运行指标。,如果在上例中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成3个队列，而前例中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为：1230.9/30.3（人/分钟）这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。 现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进行对比分析，结果见表,（1）挂号间空闲的概率,（2）就诊者必须等待的概率,（3）每个系统的平均等待队长,（4）每个系统的平均队长,（5）每个系统的平均逗留时间,（6）每个系统的平均等待时间,两个模型的比较,从上面的例子可以看出，C个M/M/1模型和1个M/M/C模型尽管系统内的服务台数没有变化，但采用不同的队列方式的系统运行状态和指标是不一样的，单队列要比多队列更为有效，所以在策划一个排队系统时应考虑队列因素。,优于,
