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1、1,9.4 单步法的收敛性与稳定性,9.4.1 收敛性与相容性,数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程（1.1）转化为差分方程，如单步法（2.10），即,（4.1）,它在 处的解为 ，而初值问题（1.1），（1.2）在 处的精确解为 ，记 称为整体截断误差.,收敛性就是讨论当 固定且 时 的问题.,2,定义3 若一种数值方法（如单步法（4.1）对于固定的 , 当 时有 ，其中 是（1.1），（1.2）的准确解，则称该方法是收敛的.,显然数值方法收敛是指 ，对单步法（4.1）有下述收敛性定理：,定理1 假设单步法（4.1）具有 阶精度，且增量函数 关于 满足利普希茨条件,（4.2）,
2、又设初值 是准确的，即 ，则其整体截断误差,（4.3）,3,证明 设以 表示取 用公式（4.1）求得的结果，即,（4.4）,则 为局部截断误差，由于所给方法具有 阶精度，按定义2，存在定数 ，使,又由式（4.4）与（4.1），得,利用假设条件（4.2），有,4,从而有,即对整体截断误差 成立下列递推关系式,（4.5）,反复递推，可得,（4.6）,5,再注意到当 时,最终得下列估计式,（4.7）,由此可以断定，如果初值是准确的，即 ，则（4.3）式成立.,依据这一定理，判断单步法（4.1）的收敛性，归结为验证增量函数 能否满足利普希茨条件（4.2）.,对于欧拉方法，由于其增量函数 就是 ，故当
3、关于 满足利普希茨条件时它是收敛的.,6,再考察改进的欧拉方法，其增量函数由（3.2）式,给出，这时有,假设 关于 满足利普希茨条件，记利普希茨常数为 ，则由上式推得,设限定 为定数），上式表明 关于 的利普希茨,7,常数,因此改进的欧拉方法也是收敛的.,类似地，不难验证其他龙格-库塔方法的收敛性.,定理1表明 时单步法收敛，并且当 是初值问题（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有 阶精度时，则有展开式,8,所以 的充要条件是 ，而 ，于是可给出如下定义：,定义4 若单步法（4.1）的增量函数 满足,则称单步法（4.1）与初值问题（1.1），（1.2）相容.,以上讨论表明 阶方法（4.1）
4、当 时与(1.1)，(1.2)相容，反之相容方法至少是1阶的.,于是由定理1可知方法（4.1）收敛的充分必要条件是此方法是相容的.,9,9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域,定义5 若一种数值方法在节点值 上大小为 的扰动，于以后各节点值 上产生的偏差均不超过 ，则称该方法是稳定的.,以欧拉法为例考察计算稳定性.,例4 考察初值问题,其准确解 是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如图9-3所示.,用欧拉法解方程 得,10,若取 ，则欧拉公式的具体形式为,计算结果列于表9-4的第2列.,可以看到，欧拉方法的解 （图9-3中用号标出）在准确值 的上下波动，计算过程明显地不稳定.,但若取 则计算过程稳定
5、.,图9-3,11,再考察后退的欧拉方法，取 时计算公式为,计算结果列于表9-4的第3列（图9-3中标以号），这时计算过程是稳定的.,12,例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长 的大小有关，当然也与方程中的 有关.,为了只考察数值方法本身. 通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性，模型方程为,（4.8）,其中 为复数，对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式，例如在 的邻域，可展开为,略去高阶项，再做变换即可得到 的形式.,对于 个方程的方程组，可线性化为 ，这里,13,为 的雅可比矩阵 .,若 有 个特征值 ，其中 可能是复数，所以，为了使模型方程结果能推广到方程组，方程（4.8）中
6、为复数.,为保证微分方程本身的稳定性，还应假定 .,先研究欧拉方法的稳定性.,模型方程 的欧拉公式为,（4.9）,设在节点值 上有一扰动值 ，它的传播使节点值 产生大小为 的扰动值，假设用 按欧拉公,14,式得出 的计算过程不再有新的误差，则扰动值满足,可见扰动值满足原来的差分方程（4.9）.,如果差分方程的解是不增长的，即有,则它就是稳定的.,显然，为要保证差分方程（4.9）的解是不增长的，只要选取 充分小，使,（4.10）,在 的复平面上，这是以 为圆心，1为半径的单位圆域. 称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可由下面定义.,15,定义6 单步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解
7、 ，满足 ，则称方法（4.1）是绝对稳定的.,在 的平面上，使 的变量围成的区域，称为绝对稳定域，它与实轴的交称为绝对稳定区间.,对欧拉法 ，其绝对稳定域已由（4.10）,给出，绝对稳定区间为 .,在例5中 ，即 为绝对稳定区间.,例4中取 故它是不稳定的，当取 时它是稳定的.,16,对二阶R-K方法，解模型方程（4.1）可得到,故,绝对稳定域由 得到，于是可得绝对稳定区间为 ，即 .,类似可得三阶及四阶的R-K方法的 分别为,17,由 可得到相应的绝对稳定域.,当 为实数时则得绝对稳定区间. 分别为,三阶显式R-K方法： 即,四阶显式R-K方法： 即,从以上讨论可知显式的R-K方法的绝对稳定
8、域均为有限域，都对步长 有限制. 如果 不在所给的绝对稳定区间内，方法就不稳定.,例5 分别取 及 用经典的四阶R-K方法（3.13）计算.,18,解 本例 分别为 及 ，前者在绝对稳定区间内，后者则不在，用四阶R-K方法计算其误差见下表：,以上结果看到，如果步长 不满足绝对稳定条件，误差增长很快.,对隐式单步法，可以同样讨论方法的绝对稳定性，例如对后退欧拉法，用它解模型方程可得,19,故,由 可得绝对稳定域为 ，它是以 为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定区间为 .,当 时，则 ，即对任何步长均为稳定的.,对隐式梯形法，它用于解模型方程（4.8）得,20,故,对 有 ，故绝对稳定域为 的
9、左半平面，绝对稳定区间为 ，即 时梯形法均是稳定的.,21,9.5 线性多步法,在逐步推进的求解过程中，计算 之前事实上已经求出了一系列的近似值 ，如果充分利用前面多步的信息来预测 ，则可以期望会获得较高的精度.,这就是构造所谓线性多步法的基本思想.,构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程（1.1）两端积分后利用插值求积公式得到.,本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法.,22,9.5.1 线性多步法的一般公式,如果计算 时，除用 的值，还用到 的值，则称此方法为线性多步法.,一般的线性多步法公式可表示为,（5.1）,其中 为 的近似， 为常数, 及 不全为零，
10、则称（5.1）为线性 步法.,计算时需先给出前面 个近似值 , 再由（5.1）逐次求出 .,23,如果 ，称（5.1）为显式 步法，这时 可直接由（5.1）算出；如果 ，则（5.1）称为隐式 步法，求解时与梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出 .,（5.1）中系数 及 可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：,定义7 设 是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，线性多步法（5.1）在 上的局部截断误差为,（5.2）,若 ，则称方法（5.1）是 阶的， 则,24,称方法（5.1）与方程（1.1）是相容的.,由定义7，对 在 处做泰勒展开，由于,代入（5.2）得,（5.3）,25,其中,
11、（5.4）,若在公式（5.1）中选择系数 及 ，使它满足,26,由定义可知此时所构造的多步法是 阶的，且,（5.5）,称右端第一项为局部截断误差主项， 称为误差常数.,根据相容性定义， , 即 ，由（5.4）得,（5.6）,故方法（5.1）与微分方程（1.1）相容的充分必要条件是（5.6）成立.,27,当 时，若 ，则由（5.6）可求得,此时公式（5.1）为,即为欧拉法.,从（5.4）可求得 ，故方法为1阶精度，且局部截断误差为,这和第2节给出的定义及结果是一致的.,28,对 , 若 ，此时方法为隐式公式，为了确定系数 ，可由 解得,于是得到公式,即为梯形法.,由（5.4）可求得 , 故 ，所
12、以梯形法是二阶方法，其局部截断误差主项是 , 这与第2节中的讨论也是一致的.,对 的多步法公式都可利用（5.4）确定系数 ，并由（5.5）给出局部截断误差.,29,9.5.2 阿当姆斯显式与隐式公式,考虑形如,（5.7）,的 步法，称为阿当姆斯（Adams)方法.,为显式方法， 为隐式方法，通常称为阿当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adams-Monlton公式.,这类公式可直接由方程（1.1）两端积分（从 到 积分）求得.,下面可利用(5.4)由 推出，对比(5.7),30,与（5.1）,可知此时系数 .,显然 成立，下面只需确定系数 ，故可令 ，则可求得 .,
13、（若 ，则令 来求得 ）.,以 为例，由 ，根据（5.4）得,31,若 ，则由前三个方程解得,得到 的阿当姆斯显式公式是,（5.8）,由（5.4）求得 ，所以（5.8）是三阶方法，局部,32,截断误差是,若 ，则可解得,于是得 的阿当姆斯隐式公式为,（5.9）,它是四阶方法，局部截断误差是,（5.10）,33,用类似的方法可求得阿当姆斯显式方法和隐式方法的公式，表9-5及表9-6分别列出了 时的阿当姆斯显式公式与阿当姆斯隐式公式，其中 为步数， 为方法的阶， 为误差常数.,34,35,例6 用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题,取步长 .,解 本题 . 从四阶阿当姆斯显式公式得到,对于四阶阿当姆斯隐式公式得到,36,由此可直接解出 而不用迭代，得到,计算结果见表9-7，其中显式方法中的 及隐式方法中的 均用准确解 计算得到，对一般方程，可用四阶R-K方法计算初始近似.,37,从以上例子看到同阶的阿当姆斯方法，隐式方法要比显式方法误差小，这可以从两种方法的局部截断误差主项 的系数大小得到解释，这里 分别为 及 .,
