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1、组合投资选择模型 金融微观分析面临着许多的不确定性，对于不确定性通常有三种研究方法：1、 效用分析法；2、均值分析法；3、无套利分析法。第一节 组合投资选择模型一 、 证券组合的收益与风险组合投资理论基本假设：（1） 已知投资收益率的概率分布（2） 风险用方差或标准差度量（3） 影响投资结果的因素仅有均值、方差（4） 投资者为不满足和风险厌恶型二、组合的收益和风险 (多(N) 种资产)投资组合：将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。记：p=(x1,xN)T，设第I种证券的收益为ri，其中Xi为投资于I证券的资金比例，则。ri的标准差为si，ri与rj的协方差为，
2、相关系数为投资组合: 收益率：期望收益率： 方差：标准差： S为的协方差矩阵第二节 二次效用函数与投资证券收益率关于二次效用函数与投资证券收益率服从正态分布的讨论。设投资者的期初财富为w，个体通过投资各种金融资产来最大化它的期末财富、 带来的期望效用。设个体的NM效用函数为u,对u在E（w）作Taylor展开，=U(E(w)+ ( E(w) +( E(w)+R其中R=在假设U有很光滑的条件之下，可得E()=U(E()（光滑的含义：存在N阶导、展开的级数收敛、积分与求导可交换）E()=U(E()+U(E()（）+E(R)（1）其中E(R)= )（2） 其中m表示的n阶中心矩定理：1，如果是二次函
3、数则，=a+b+c，2，对任意NM效用函数U，如果期末的财富服从正态分布，则期望效用仅是财富的期望与方差的函数。E() 证明：如果1成立,则期望效用E()= a + b E() + c E()=a + b E() + c（）+ E()如果2成立，则当期末财富服从正态分布时，则 E( E(w)= 0 j为奇数 （） j为偶数可见定理成立期望效用最大化在定理1的假设下，归结为选择均值与标准差的最优组合来实现。下面来证明在均值、标准差平面上，无差异曲线是凸的单调递增的。 为此，由收益率的定义r= (1期收益率)知：N() rN()因此，资产（财富）的收益率服从均值为，标准差为的正态分布。定理：当资产
4、收益率rN()时，则无差异曲线是向下凸的，风险厌恶者的期望收益与风险之间的边际替代率是正的。证明：略第三节 关于组合投资的有效边界的讨论及性质定义：如果一个证券组合在所有的均值收益率的证券组合中是具有最小的方差值，那幺这个组合就是有效的证券组合。Markowitz模型： Min s.t 构造Lagrange函数：解得： 令 A=，B=，C=，D=。 继而得到： （） 最小方差集合性质性质一 f, f+h 是0，1均值的两个投资组合。在式中，取E（R）=0 X=f ,取E（R）=1 X=f+h性质二 前沿面上的所有证券都是f 和f+h 的组合。证明：做f和f+h的组合q（1 E(r)）*f+ E
5、(r)*（f+h）=f + h* E(r)=X性质三 证明：讨论证券x与q的协方差Cov(r,r)=E(r- E(r)( r-E(r) =( E(r)-)( E(r)-) + 特别的当x=q,有：= + ( E(rx)-) （抛物线） =1 （双曲线）E(r) 当E(r)=时，则有一全局最小方差的投资组合性质四 有效证券组合是一个凸集。证明：假设证券组合X1, X2, XN 是n个有效的证券组合 于是对任意实数a 0, =1 由性质2 , 是一个证券组合且， = 因此它是有效的。 性质五 对于除mvp 外，任一个有效证券组合X，必有唯一一个最小方差集合上的证券组合ZC(X)，使得。推论一 ZC
6、(ZC(X)=X。推论二 对所有的证券组合X，。推论三，如果X是有效组合，则E(r ZC(x) , 否则ZC(X)是无效的证券组合。E(r) 证明：考察两个有效的证券组合的协方差Cov(r,r ZC(p)=XV X ZC(p) =( E(r)-)( E(r ZC(p)-) + 令Cov(r,r ZC(p)=0 解得：E(r ZC(p)= 性质六 任意证券Y的收益率均值，均可表示为任一个最小方差集合上证券组合X(除mvp外)，与其对应的ZC(X)的收益率均值的组合：。投资组合降低风险特例说明：平均值为，平均值为，取单个证券的风险（方差） 称为不可化解风险或市场风险或系统风险。称为可化解风险或特有
7、风险或非系统风险。证明性质六。设q是任意证券组合，p是有效的证券组合（p+mvp）则Cov(rq,rp) = XqVXp =XqV(Ve + V1)=Xqe + Xq1=E rp + 将、带入，整理得到E rq = + Cov(rq,rp) = * + + *=E r ZC(p) +pq(Erp + )= E r ZC(p) +pq(Erp E r ZC(p)=（1pq）E r ZC(p) + pq Erp第四节、组合投资理论存在n个风险资产，构造投资组合Xp=(x1,xN),使得满足：Min s.t Xe = Erp 此时，对任意一个证券组合q，有Erq =（1qp）*Erp + qp* E
8、 r zc(p)下面讨论当存在无风险资产时的证券组合的有效集合。设有n+1个证券，n个风险资产，一个无风险资产，且无风险资产的收益率记为r，设P是由n+1个证券组成的证券组合，且是有效的，它在有效集合上。Xp就是由n个风险证券构成的证券组合的权重，则Xp是下述问题的解。由largange乘数法，可知Xp满足关系式由（1）Xp = =由此可解出Xp = V = V 其中H= =B2Ar+C r0考虑组合P的方差 = （rp）= = -情形1：rf , 有效集合LE(r) rf 卖空点 L 情形3：rf = ，有效集合为L、L (渐近线，不相切)E(r) L rf L 考虑证券组合，使其满足Max s.t: X 1 = 1 Max 可以求出其一阶条件：=VXp (*)可以推得：Xp= 将(*)写成分量式：Er rf = (x11i +x2 2i+xnni )= Cov( rp , ri )由于 = = Eri = rf + Cov( re , ri )上式即为CAPM还可以写成Er = rf + ( Ere rf )
