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1、1,高等数学,第三十四讲,2,二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,3,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,4,解,代入方程，得,故方程的通解为,例1.,5,例2 已知方程,有特解,则方程的通解为,再求线性齐次方程的通解 .,提示:,(,),提示: 将解代入方程 , 得,6,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,7,解答提示,P353 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P352 题3 求下列微
2、分方程的通解,提示: 令,则方程变为,8,P354 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,9,解,特征方程,对应的齐次方程的通解为,例3,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,设原方程的特解为,10,故原方程的通解为,例3,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,11,例4. 设,求,解:,两边对 x 求导,求解可得,思考: 设,提示: 对积分换元 , 令,则有,12,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,13,例5：设 f (x) 具有二阶连续导数,且,为一全微分
3、方程，,求此微分方程的通解。,解,令,解得,令特解,14,利用,通解,15,例7,有特,而对应齐次方程有解,及微分方程的通解 .,解: 将,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,16,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,17,例8,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),18,所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,19,代入初始条件可得,故所求级数的和,20,P354
4、题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导, 且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用对称性,即,( 欧拉方程 ),原方程可化为,21,例7.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),代入原微分方程,得,22,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,例7.,设函数,内具有连续二阶导,数, 且,的解.,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,23,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,
