《同济版大一高数下第十二章第八节一般周期的ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济版大一高数下第十二章第八节一般周期的ppt课件.ppt（16页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,高等数学,第三十三讲,2,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,第十二章,3,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,4,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,5,证明: 设 f (x) 周期为2 l 的周期函数, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,是以 2 为周期的周期函数 ,6,其中
2、,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),证毕,7,说明:,其中,(在 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为偶函数, 则有,(在 f (x) 的连续点处),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数,收敛于,如果 f (x) 为奇函数, 则有,8,例1： 设函数 f (x) 是周期为2的周期函数，它在区间,(1，1 上的表达式为：,将 f (x) 展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形.,解：,处间断,f (x) 在间断点处的傅立叶级数收敛于,在连续点处收敛于 f (x) ，其傅立叶系数为：,f (x) 如图所示，它在,9,注：l=1,10,例1
3、： 设函数 f (x) 是周期为2的周期函数，它在区间,(1，1 上的表达式为：,将 f(x) 展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形。,11,例2. 把,展开成,(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,12,(2) 将,作偶周期延拓,则有,13,例3,期的傅立叶级数, 并由此求级数,(91 考研),解:,为偶函数,因 f (x) 偶延拓后在,展开成以2为周,的和.,故得,14,得,故,由此求级数,的和.,15,为正弦 级数.,内容小结,1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f (x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,3. 傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,16,思考与练习,1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答: 易看出奇偶性及间断点,2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?,答: 用系数公式计算,如分母中出现因子nk,从而便于计算系数和写出,收敛域 .,必须单独计算.,
