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1、1,高等数学,第二十一讲,2,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十一章,3,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,4,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,5,3) “近似和”,4) “取极限”,(其
2、中 为 n 个小弧段的 最大长度),6,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,7,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,8,1).存在条件：,2).组合形式,9,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,
3、则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,10,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,思想方法： 统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。,利用变量代入法可得上式 左边右边,证明：,11,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,12,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,13,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2)
4、 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,或 取 L 的方程为,则,则,14,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解:,(2) 取 L 的方程为,则,15,例3：计算：,其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).,解：,16,例4. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,17,例5. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1
5、) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),18,(2),令,利用“偶倍奇零”,19,例6. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,20,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,21,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,22,例1,23,例2.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,24,二者夹角为 ,例3. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,连续,证:,设,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上,25,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,26,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,27,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,28,点 O 的距离成正比,思考与练习,1. 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见 P139 例5),29,方程为,例5.,30,例7. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,解:,
