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1、CAD系统中公差信息建模与表示技术综述摘要 公差信息建模与表示是指对某一造型系统进行准确无误的公差表述,并对其语义作出正确合理的解释。由于其对CAD、CAPP、CAM的集成有着十分重要的作用，因此一直是CAD/CAM研究领域的热点，研究成果十分丰硕。另一方面，由于公差信息的建模与表示有着相当的难度，该领域至今仍然有着许多问题有待解决。本文对当前CAD系统中公差信息建模与表示技术的研究历史和现状进行了较为全面的综述，分析比较了目前各种模型的优点与不足，最后对公差信息建模与表示中亟待研究解决的问题及可能对策进行了讨论。关键词 公差 数学模型 表示模型 CAD/CAM中图文分类号: TP39.72S
2、URVEY OF MODELING AND REPRESENTATION OF TOLERANCE INFORMATION IN CAD SYSTEMLIU Yusheng YANG Jiangxin Wu Zhaotong Gao Shuming(State Key Lab. of CAD&CG, Zhejiang University, Hangzhou, 310027)(Production Engineering Institution of Zhejiang University, Hangzhou, 310027)Abstract Seamless and effective in
3、tegration of CAD and CAM is increasingly demanded by manufacturing industries. To realize this, tolerance information is imperative, which CAPP will use for process planning, whereas CAD should use to ensure the functional requirement. Tolerance modeling and representation is exactly to represent to
4、lerance information in CAD systems and explain its semantics for CAPP and other requirement. Therefore it has become an important research area for the past decade. Much effort has been conducted and many kinds of approaches have been proposed. On the other kind, due to the difficulty of this proble
5、m, there are still many problems with the current methods, which should be solved to make tolerance modeling and representation more powerful and practical. In this paper, a survey of tolerance modeling and representation is presented. And the representative methods are reviewed and their distinguis
6、hing characteristics are identified. Moreover, the existing problems and possible solution strategies are discussed. Keywords Tolerance Mathematical model Representation model, CAD/CAM1引言 实现CAD/CAM的有效集成对企业制造出高精度的产品、提高市场竞争力是十分关键的，而其实现的基础是能够从CAD系统中提取出必需的信息，实现计算机辅助工艺规划（CAPP，Computer Aided Process Plann
7、ing），从而形成CAD/CAPP/CAM的集成。现有CAD系统的核心是一个实体造型器，它只提供了对实际物体精确的数学表示1-5，不能表示对CAPP有用的全部信息，如技术要求、公差信息等。公差信息对于CAPP的作用是显而易见的，它直接影响工艺规划路线的选择与生成，从而影响CAD/CAM的集成。国际生产工程学会CIRP原主席R.Weill6曾撰文指出：CAD/CAM信息集成主要是公差信息的集成，如不加以解决，CAD/CAM集成就难以实现。公差信息的建模与表示是指在计算机中对某一实体模型或特征模型进行准确无误的公差表述7，并对其语义作出正确合理的解释。通过建模与表示，公差信息能够在产品的整个生命周
8、期被使用，从而相应的操作也能顺利进行，这就为CAD/CAM的集成提供了更好的基础。* 国家自然基金资助项目（59705022，69973045）目前国内外对于公差信息的建模与表示进行了大量的研究35-37，是当前国际学术界研究的热点一，受到了愈来愈广泛的重视。本文试图对其研究内容与研究现状作较为全面的阐述，并对其以后的发展作一些探索。2公差信息建模与表示的研究内容与现状公差信息的建模与表示首先要有一个数学模型，其次是表示模型8-9。数学模型是指对公差信息语义的数学描述与解释，它应该包括两个问题：公差域边界的描述和满足公差要求的变动要素的描述，即按工程语义来解释公差信息；表示模型是指公差信息在计
9、算机中的表述，以一种数据结构的形式存在。一般来讲，正确合理的公差信息建模首先需要一个数学模型，并针对该数学模型建立相应的计算机表达方式即表示模型，这样可以在表示模型中完整地表示数学模型所需的各种信息。但数学模型与表示模型之间并不存在严格的一一对应关系，而是交叉对应关系，理论上针对一个数学模型可以设计出多种表示模型，反之，一种表示模型也可以为多种数学模型服务，仅仅将公差当作文本符号处理的简单表示模型甚至可以没有对应的数学模型，此时对其所表示的公差信息未作出任何语义的解释，公差仅为一种符号。2.1 数学模型研究内容与现状 从七十年代末开始研究计算机辅助公差设计技术以来，对公差信息建模与表示的数学模
10、型从不同的侧面进行了大量的研究，出现了以下几种数学模型。1） 漂移模型（Offsetting Model）Requicha10-11针对几何造型的需求，以变动簇为基础，于1983年提出了一种全新的公差数学模型，这个模型用点集形式来表述，实体S是欧氏空间的一个正则子集，用点集定义了其上特征Fi。在Requicha看来，公差目的就在于定义一系列物体组成的类，它们满足：（1）在装配过程中可互换；（2）功能上等价。并把这个类称为变动类（variational class）。由此公差就指一个具有计算功能的实体，是对一个变动类的表示，公差的数学表达是：T =（S，Fi，Aij） (1)式中：S为所需添加公
11、差的实体；Fi为该名义实体的边界；Aij是公差要求。上述定义的公差经过漂移，得到漂移实体o（，S）为： (2)式中：为漂移量（与公差有关），-*为正规差，C*为正规补，d(p,S)为点P到实体S的距离。漂移形成的区域即为公差带，实际特征位于公差带内则认为合格。通过漂移可定义相应的尺寸及形状、位置公差带。Srinivasan和Jayaraman12-13、张文祖14 、Etesmi32等人进一步完善了漂移模型。用漂移的方式来形成公差域的边界是十分简单方便的，易于实现，且无二义性，但它有几点不足：（1）对于位置公差，它与ISO标准的解释是不相容的；（2） 没有严格按语义解释定向公差和形状公差，因为
12、前者的位置是不定的，而后者的位置和方向均是不定的，不能仅仅在理想方位上进行漂移而得到公差域；（3） 对非配合要素的尺寸公差过于严格；（3）它只能用来表示公差域的边界，对变动后的要素并未作出解释。2）基于几何约束变动的参数矢量化数学模型Hillyard和Braid15-16把几何实体视为物理框架(Frame)，初始时框架处于自由状态，松散地联结，点和边分别对应框架的节点和连杆。而尺寸信息是一些使框架受到约束从而得到固定的固件（Stiffening）。公差信息则是尺寸信息所允许的微小变动，相当于一种微型滑动机构。故其约束方程组为：t=Rm (3)式中：m是参数矢量的位移矢量，t是尺寸的偏差量，R被
13、称为刚性矩阵。这样可以通过参数矢量的位移矢量来表示出尺寸公差的大小。Light17通过分析约束方程组的Jacobian矩阵、引入了数值方法，处理问题效率较高。参数矢量化方法能较好地表示尺寸公差信息，但是对形状的变化则必需对表面上每一点进行参数化，也就需要无穷维矢量才能完整的表示形状误差，这是不可能的，所以此种模型无法处理形位公差。3）基于公差函数与矢量方程的数学模型Hoffman18在三维欧氏空间中发展了一种公差模型，它把几何图形视为由一些点矢量组成，公差被解释为一系列的以点矢量为参数的公差函数。满足公差要求即为满足：L f(x) U (4)式中：x为零件的参数矢量；f为公差函数；L、U为公差
14、域的上、下界。Turner19在变动实体造型的基础上也提出了基于公差可行域的公差模型。ASME20于1994年颁布了尺寸和公差数学定义的新标准，以严格的数学形式来公差，其实质是用点集的矢量方程来定义公差域。在数学定义中，用中心要素的位置矢量来确定公差域的位置，用中心要素的法矢量来确定公差域的方向，公差域的大小由用户给出，而公差域的形状可以由矢量方程直接确定。目前这种方法也主要是用来确定公差域的边界，对满足公差变动后要素如何表示未作深入的研究。4）基于漂移和自由度的数学模型Shah21等人认为公差的建模与表示的关键是要能对满足公差的要素变动作出正确的解释，即带此公差的要素是如何在公差域中变动，表
15、示出公差信息的语义。因此提出了基于自由度的公差数学模型。要素的变动总是有一定规律可循的，它只能沿要素自由度的方向变动，而这里变动的区域仍然是由漂移而来。黄灿明22、A.Desrochers41等学者开展了相似的工作。A.Desrochers的六个screw参数实质上就是自由度的变动量。该模型除了漂移理论所造成的固有缺点外，同时还未考虑不同公差原则对公差建模的作用。5）基于数学定义和自由度变动的数学模型3a2a1a2t564321psq（a） 公差域图（b）T-MAP的半切面图（c）T-MAP图d1a2a2txz3a图1 公差域及其对应的T-MAP(a) 2D Tolerance Zone(b)
16、 half section of T-MAP(c) T-MAPFig.1 Tolerance Zone and its corresponding T-MAP从上述论述中可以看出，各种模型均能解决公差信息建模与表示中某一方面的问题，不够全面。刘玉生等2442在总结其他学者工作的基础上，提出了基于数学定义和自由度的公差信息建模方法，较好地解决了公差数学模型中的两个问题。在该模型中，设自由度变动为模型变量，由公差的数学定义导出基于自由度变动的公差域边界表示和变动后要素的表示统一的方法。与4）相比，均用到了自由度，但此模型中自由度的变动区域是直接由数学定义导出的，而且公差域本身也使用了自由度变动来确
17、定，而不是由漂移而来。此外，在该模型中，对尺寸公差与形位公差的关系，不同公差原则的应用等影响公差建模的因素均作了较为详细的研究。但该模型目前仍然只能处理平面与规则的几何曲面，对于CAD模型中用得越来越多的非规则曲面则未考虑，同时用自由度变动虽然可以表示出公差的语义，但与公差本身所固有的丰富的信息相比，还是显得很不够，因此还很有必要与其它方法相结合，使其表示的内容更加丰富。Fig.3 VGraph图3 VGraph图U.Roy8-9、J.K.Davidson42也进行了相似的工作。J.K.Davidson在深入研究公差域边界及位于公差域内的变动要素关系的基础上，提出了一个更为高层的概念：T-MA
18、P。在T-MAP中以点集的形式包含了满足公差要求的所有公差域边界及变动要素，如图1所示，图a中的阴影部分为某零件的实际公差域，图中1a、2a、3a分别为极限位置的变动要素，图b为T-MAP图的半切面，在这里，1a、2a、3a均以点表示，而三角形中的任意一点均表示一变动要素，且可用1a、2a、3a的组合来表示，图c为3D的T-MAP图。该模型可以方便地以一个点集统一地表示出所有的公差域边界及变动要素，并且还能方便地实现不同公差类型的组合。但其作用对象只能是具有圆形截面的零件，如圆柱体的端面。以上介绍的五种公差数学模型，基本上是按时间的先后顺序排列，是不断发展的。从现在的发展趋势看，基于数学定义，
19、再结合运用其它方法来研究公差的数学模型，应该有较大的优势，值得大力研究。DRF NodeD&T NodeED NodeEL Node图2 EDT数据模型Fig. 2 Data Model of EDT2.2 表示模型研究内容现状图4 CSG/B-rep混合表示形体及公差信息表示模型按其与实体造型系统的关系，可分为依赖于实体模型的与独立于实体模型内的表示模型。前者可进一步分为基于CSG、基于B-Rep及基于CSG/ B-Rep混合模型等几种；后者可进一步分为基于TTRS、基于公差元及基于特征等几种。1）基于B-rep的公差表示模型Fig.4 CSG/B_Rep hybrid representa
20、tion of geometry and tolerance一种较自然的建立独立表示模型的思路是把实体造型系统视为一个高层的虚拟模型，软件系统提供一种接口，通过这个接口将表示模型与实体模型连接。基于上述思想，Johnson24在基于B_rep的CAM-I系统中讨论了在实体模型中附加公差信息的问题，公差表示模型模块用EDT模型（Evaluated Dimension and Tolerance）来表述，用户先定义好名义实体，在通过模板交互地定义模型。模型的数据结构由四个节点构成：尺寸与公差节点（D/T），实体联接节点（EL），基准参考框架节点（DRF），生成数据节点（ED），如图2所示。EDT模
21、型只能支持B-rep实体造型方式。2）基于CSG的公差表示模型 这是Requicha25在基于CSG的造型系统在PADL-1和PADL-2中发展的一种表示模型。他使用了VGraph的数据结构，如图3所示。把公差作为物体特征的属性，用VGraph把这些信息表示出来。VGraph的属性定义可以在CSG树的生成过程中交互形成，它们定义在基本的面元（NFace）上，通过NFace把VGraph与实体模型联系起来。图3中VEdge节点代表两相邻VFace的交线。Attlist表示属性表，Datsys节点表示基准系统。这种表达模型中的Nface并不直接指向B-Rep数据，与公差属性相联系的Nface是通过
22、建立起一个索引系统来正确辨识体素实体上的面。这种基于CSG模型的公差表达方式，对设计公差的表达有一定的限制，在实施过程中会遇到操作问题。3）基于CSG/B-rep的公差表示模型Roy和Liu26-27在分析了CSG和B-rep造型方式的特点后指出：在CSG表达方式中实体被表达成体素的集合操作的组合，由于CSG树可以使用预先设计好的“特征”作为体素来进行构造，故高层次的特征表述和确认是可能的，但CSG表达方式有不唯一性和冗余性，不利于尺寸和公差（D&T）信息的表达；B-rep对于表达底层特征信息有利，但所有信息均在同一层次上，不利于高层特征信息的表达，且没有显式表达“空间约束”的信息；故较好的方
23、法是采用CSG/B-rep混合表达造型。他们在基于特征造型的系统中讨论了公差信息的表示问题，使用了层次结构来组织特征，在构造实体的过程中可同时加入表示信息如公差信息等。CSG树中节点可以是体素和特征，集合操作可以在层次结构的任一层进行。B-rep的表示使用邻面图（FAG）来表达，面作为定义物体的实体，面边关系作为体元之间的基本关系。CSG与B-rep结合是通过层次邻面图来实现，特征添加的针对其它特征的尺寸/公差等信息都是在同一层次上或针对同一预定义的基准框架。公差信息是通过“查询面表”（Reference Face List，RFL）附在实体模型之上。图4所示为一个槽的CSG构造过程，图中每个
24、CSG层次都有B-rep表达。Gossard等也注意到了CSG和B-rep造型方法的互补性18，在MCAE系统中使用了混合表述方式来处理尺寸/公差等信息。葛巧琴33在IBM CATIA CAD/CAM软件利用CATIA软件提供的访问实体模型的接口对公差表示及分析方面作了一定的工作。其数据结构有两个层次，包含了四种公差信息（尺寸公差、形状公差、定向公差、定位公差）：第一层为几何实体信息，公差规定信息和实体状态信息；第二层为基准系信息；用链表来实现。表示方式与ISO标准相适应，通过邻接矩阵来确定公差分析次序。4）基于TTRS的公差信息表示模型F3F2F1F1( )F2( )TTRS1( )F3(
25、) TTRS1 ( )(a) 零件图(b) TTRS及对应的MGDE图Fig.5 TTRS representation and its corresponding MGDE of a part图5 零件的TTRS表示及对应的MGDE(a) A part(b) TTRS and corresponding MGDEClement32等从研究建立独立于造型系统的公差信息表示模型的角度出发，提出了基于TTRS（Topologically and Technologically Related Surface, TTRS）的公差信息表示方法。它首先从CAD系统中提取必需的信息，将零件的各表面以二叉树
26、的形式组织，形成零件的TTRS二叉树结构，接着构造此TTRS的最小几何基准元（MGDE，Minimum Geometric Datum Element），如图5所示，图(a)是零件图，图(b)是其中两孔与上表面的TTRS树及其MGDE的构造过程。根据MGDE及其相互之间的关系，可以确定出公差的类型。公差信息就可以添加于MGDE上。Clement等对TTRS及MGDE的构造规则作了较为深入的研究。该模型最大的特色之处在于提出了TTRS的概念及其组织方式，对CAD系统所提供的几何信息进行了重新的组织以便于实现公差信息的添加。但在其具体实现时主要是考虑了拓扑上表面的相联，对于技术上表面的关联则未真正
27、考虑。5）基于公差元的公差信息表示模型Fig.6 algorithm of tolerance representation based on featureGuilford29在变动几何造型系统GEOS中提出了表示元（Representational primitive）的概念。在该模型中，表示元及公差基准均是以类的形式定义，公差的所有信息如公差类型、大小、作用对象及所引用的基准等均以类属性的形式给出，通过定义类方法引用这些属性并将公差添加于CAD系统中。通过定义少量的表示元及其组合来表达标准中绝大部分类型的公差，但还不能完全地表达标准中所有的公差信息。产品模型数据交换（STEP）标准在与I
28、SO 1101标准相适应的前提下，致力于完整，无二义性地表示公差，并适应产品数据模型交换的需要。它也采用了类似于表示元的形式来表示公差，但是它在公差中定义位置和方向时使用的是矢量方式，对于实际实体来说，如何在零件上附加坐标系并未清楚地说明。Willhelm和Lu32在并行工程环境中发展了基于条件公差的公差元（Tolerance primitive）概念来表示公差。表示元与公差元都是面向对象的概念，适合并行工程下的特征造型系统，表示元侧重于公差表示，公差元侧重于公差设计。基于公差元的公差信息表示模型主要侧重于公差本身信息的组织，对于其如何在CAD系统中添加考虑较少，即对CAD系统中的几何信息未进
29、行重新的组织处理，只是将公差信息直接添加于相应的对象上。6）基于特征的公差信息表示模型求解各组成特征的FTTRS及MGDE并将之分解为约束元输入零件边界表示文件启动自动特征识别程序，识别零件模型中所有组成特征并分类组合建立各组成特征之间的尺寸约束关系根据功能要求及系统导航添加所需的公差于GD&T模型中特征库（孔，槽，台阶等特征）尺寸约束模式库（如线面约束）预定义公差类（形状公差类等）图6 基于特征的公差信息表示的算法流程考虑到公差信息具有很强的工程语义，刘玉生23提出基于特征来解决公差信息的表示问题。在该模型中，先对CAD系统中零件信息进行拓扑意义上的特征识别和几何意义上的分类与组合，将零件的
30、信息以特征的形式组织，然后借用TTRS的概念，构造基于特征的TTRS，即FTTRS（Feature-based TTRS, FTTRS），与4）相比，这里的FTTRS构造有两个主要不同点：（1）FTTRS的构造是有序的，相同表面集的不同构造顺序将生成不同的FTTRS树；（2）FTTRS的表面集只能属于同一特征内，而不能分属于不同的特征，这样不仅考虑了拓扑上表面的相联，而且也考虑了技术上表面的关联。该表示模型的构造过程如下图6所示。目前以ACIS5.0为底层开发了一基于特征的层次公差表示模型。该模型的主要特点是具有很强的语义，实现了按语义表示公差，便于对公差信息进行合理性、充分性及有效性的评价。
31、目前其主要不足之处是能处理的特征类型还有限，且如何进行公差信息的评价还需进一步研究。3存在的问题与可能解决方法3.1 公差建模与表示的数学模型对数学模型的研究已有很多，但目前实用能力均还有限。ISO公差标准已经在实践中应用多年，对于过去的“蓝图”时代是十分适合的，但它具有二义性，不适合于计算机的表示。ASME新标准21是以点集矢量的形式对公差进行定义，消除了文字定义的二义性，因此实用数学模型的获得最终要以公差的数学定义为基础，同时融合其它的方法，在对公差的语义作出正确解释的同时，尽可能多表示公差丰富的内涵信息。3.2 从设计特征到制造特征映射过程中公差信息的映射技术虽然制造特征大部分情况下就是
32、设计特征，但并不总是这样。在设计特征到制造特征的映射过程中，公差信息如何由设计特征的公差信息映射为制造特征的公差信息是值得深入研究的。一个可能解决问题的办法是记录从设计特征到制造特征映射时有公差求的要素之间的映射关系，以制造特征的要素为封闭环、设计特征的要素为组成环建立映射要素之间的公差链，从而求解出制造特征的公差。3.3 面向CAPP的公差信息表示模型在进行CAPP时，存在有大量的工序公差，这些工序公差对工艺规划、加工机床的选择等是至关重要的，因此必须对之加以建模与表示。目前对CAPP中公差优化设计的研究已有很多3339-40，相对地，对建模与表示却很少，处于刚刚起步阶段。Desrocher
33、34提出了基于TTRS的公差图（树）的方法，但这种方法只对尺寸公差比较有效，还需要进一步拓展图中节点的定义，使之既可包含尺寸公差信息，也可包含形位公差信息。作者认为，与CAD系统中的表示模型相比，面向CAPP的公差信息表示模型应该具有以下几个特征：（1）是对应的CAD系统中公差表示模型的扩充，即应该同时支持CAD系统中的公差信息表示；（2）其表示模型不仅要能表示不同要素之间的公差关系，同时还要可以表示同一要素不同时间（工序）之间的关系；（3）其研究的重点应该是工序尺寸公差及其之间的相互之间的关系。因此面向CAPP的公差信息表示模型的建立应该是以CAD中的表示模型为基础，通过必要的扩展而得到。3
34、.4 复合公差的建模方法进一步研究在组特征（如孔系、轴系）中运用复合公差时公差信息建模方法是必然的需求。刘玉生在考虑复合公差（如同时有尺寸公差和形状公差）时，主要是针对单个特征进行的，对于组特征，如孔系，当运用复合公差时，情况变得比较复杂，这种情况在实际中也是比较常见的，值得进一步研究。解决的方法应该仍然以公差的数学定义为基础，在此基础上，深入剖析组特征整体及其内部复合公差之间的相互变动关系，找到建模的约束条件。4结论虽然对CAD系统中公差信息的建模与表示已研究了近二十年，但由于其本身的难度及其在CAD/CAM集成的重要位置，它依然是目前CAD/CAM集成领域中一个十分活跃、仍然存在许多问题亟待解决的研究课题，应当引起高度的重视。 7
