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1、一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,7.1 向量及其运算,四、利用坐标作向量的线性运算,上页,下页,铃,结束,返回,首页,五、向量的模、方向解、投影,一、向量概念,既有大小, 又有方向的量叫做向量.,向量,有向线段的长度表示方向的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.,向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.,向量的表示法,下页,一、向量概念,既有大小, 又有方向的量叫做向量.,向量,向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.,向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.,向量的表示法,下页,与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.,自由向量,如果向量a和b的大
2、小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a=b.,相等的向量经过平移后可以完全重合.,向量的相等,下页,向量的模 向量的大小叫做向量的模.,单位向量 模等于1的向量叫做单位向量.,零向量,零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.,如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a=b.,向量的相等,下页,向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.,向量a与b平行, 记作a/b.,a/b/c,零向量认为是与任何向量都平行.,当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向
3、量共线,共线向量与共面向量,下页,向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.,向量a与b平行, 记作a/b.,零向量认为是与任何向量都平行.,共线向量与共面向量,当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线,设有k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果k个终点和公共起点在一个平面上 就称这k个向量共面,首页,二、向量的线性运算,设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.,1.向量的加法,c=a+b,三
4、角形法则,平行四边形法则,下页,向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a;,(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).,下页,向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a).,负向量,三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立.,与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a.,下页,当=0时, |a|=0, 即a为零向量.,向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向当0时与a相同, 当0时与a相反.,2.向量与数的乘法,当=-1时, 有(-1)a =-a.,当=1时, 有1a
5、=a;,下页,(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b.,向量与数的乘积的运算规律,向量的单位化,于是a=|a|ea.,当=0时, |a|=0, 即a为零向量.,向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向当0时与a相同, 当0时与a相反.,2.向量与数的乘法,当=-1时, 有(-1)a =-a.,当=1时, 有1a=a;,设a0, 则向量 是与a同方向的单位向量, 记为ea.,下页,于是,解,由于平行四边形的对角线互相平分, 所以,下页,设向量a0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实
6、数, 使 b=a. ,定理1(向量平行的充要条件),定理证明,给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox,并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x 实数x称为轴上点P的坐标,数轴与点的坐标,首页,说明：,三、空间直角坐标系,空间直角坐标系,y轴,z轴,原点,x轴,在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系,(2)数轴的的正向通常符合右手规则.,(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线;,下页,在空
7、间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面.,坐标面,三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.,下页,在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面.,坐标面,三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.,卦限 坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 分别用字母I、II、III、IV等表示.,下页,向量的坐标分解式,以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有,下页,向量的坐标分解式,上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量,点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关
8、系,任给向量r 存在点M及xi、yj、zk 使,有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z),有序数x、y、z也称为点M的坐标 记为M(x y z),下页,向量的坐标分解式,上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量,任给向量r 存在点M及xi、yj、zk 使,有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z),有序数x、y、z也称为点M的坐标 记为M(x y z),向量 称为点M关于原点O的向 径,下页,坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 例如 点M在yOz面上 则x0 点M在zOx面上的点 y0 点M在xOy面上的点 z0 点M在
9、x轴上 则yz0 点M在y轴上,有zx0 点M在z轴上的点 有xy0 点M为原点 则xyz0,坐标轴上及坐标面上点的特征,首页,提示：,四、利用坐标作向量的线性运算,下页,a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk,a+b,=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b,=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,a,=(ax)i+(ay)j+(az)k.,设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则,a=(ax, ay, az).,ab=(axbx, ayby, azbz),四、利用坐标作向量的线性运算,解,如同解二元一次
10、线性方程组 可得,x2a3b,y3a5b,以a、b的坐标表示式代入 即得,x2(2 1 2)3(1 1 2),(7 1 10),y3(2 1 2)5(1 1 2),(11 2 16),设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则,a=(ax, ay, az).,ab=(axbx, ayby, azbz),下页,利用坐标判断两个向量的平行,设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因为 b/a ba, 即 b/a (bx, by, bz)=(ax, ay, az ),所以 b/a ,下页,四、利用坐标作向量的线性运算,设a=(ax, ay, az
11、), b=(bx, by, bz), 则,a=(ax, ay, az).,ab=(axbx, ayby, azbz),平行四边形法则 三角形法则,解,例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数1,这就是点M的坐标,由于,首页,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,按勾股定理可得,有 |OP|x| |OQ|y| |OR|z| 于是得向量模的坐标表示式,下页,1.向量的模与两点间的距离公式,设向量r(x y z) 作 则,设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2) 则,(x2 y2 z2)(x1 y1 z1),(x2x1 y2y1 z2z
12、1),于是点A与点B间的距离为,下页,五、向量的模、方向角、投影,例4 求证以M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,1.向量的模与两点间的距离公式,设向量r(x y z) 作 则,设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2) 则,所以|M2M3|M1M3| 即DM1M2M3为等腰三角形,|M1M3|2,6,(54)2(23)2(31)2,6,(57)2(21)2(32)2,|M2M3|2,14,(74)2(13)2(21)2,|M1M2|2,解,因为,下页,五、向量的模、方向角、投影,例5 在z轴上求与点A(4 1 7)和B
13、(3 5 2)等距离的点,1.向量的模与两点间的距离公式,设向量r(x y z) 作 则,设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2) 则,即 (04)2(01)2(z7)2,设所求的点为M(0 0 z),解,依题意有|MA|2|MB|2,(30)2(50)2(2z)2,下页,五、向量的模、方向角、投影,例6 已知两点A(4 0 5)和B(7 1 3) 求与 方向相同的单位向量e,解,下页,2.方向角与方向余弦,两个向量的夹角,下页,当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角 记作(ab)或(ba),如果向量a与b中有一个是零向量 规定它
14、们的夹角可以在0与之间任意取值,类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角,向量的方向角和方向余弦,下页,非零向量r与三条坐标轴的夹角、称为向量r的方向角,cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦,设r(x y z) 则,显然,以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r,cos2cos2cos21,因此,下页,解,例7,3.向量在轴上的投影,设点O及单位向量e确定u轴,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M 则向量,Prjur或(r)u,下页,向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条坐标轴上的投影 即 axPrjxa ayPrjya azPrj
15、za,性质3 (a)u(a)u (即Prju(a)Prjua),性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prju(ab)PrjuaPrjub),性质1 (a)u|a|cos (即Prjua|a|cos) 其中为向量与u轴的夹角,投影的性质,3.向量在轴上的投影,结束,向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条坐标轴上的投影 即 axPrjxa ayPrjya azPrjza,性质3 (a)u(a)u (即Prju(a)Prjua),性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prju(ab)PrjuaPrjub),性质1 (a)u|a|cos (即Prjua|a|cos) 其中为向量与u轴的夹角,投影的性质,3.向量在轴上的投影,结束,
