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1、一 向量的内积 定义1 设n维向量 x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令(x y) x1y1x2y2 xn yn(x y)称为向量x与y的内积,说明,1.内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数. 用矩阵记号表示为： (x y)xTy =x1y1x2y2 xnyn 2. n( n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但没有直观的几何意义,3.4向量的内积与正交化,内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1) (x y)(y x) (2) (x y)(x y) (3) (xy z)(x z)(y z) (4) (x,x) 0,当且仅当x0时 (x x)0. (
2、5) (x y)2(x x)(y y) 施瓦茨不等式 (5)的证明：,定义2 令,|x|称为n维向量x的模 (或长度,范数),向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 |x|0 当x0时 |x|0 (2)齐次性 |x| |x| (3)三角不等式 |xy|x|y|,特别,当|x|1时 称x为单位向量 当 时，称 为 x的单位化向量.,称为n维向量x与y的夹角,定义3 当x0 y0时,当(x y)0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交,解,二 向量组的正交化,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,例如 向量组,是R4的一个正交
3、向量组,定理 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关,设有1 2 r 使1a12a2 rar0 以a1T左乘上式两端 得 1a1Ta10 因a10 故a1Ta1|a1|20 从而10 类似可证23 r0 因此 向量组a1 a2 ar线性无关,证明,设向量组a1 a2 ar线性无关要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er 与a1 a2 ar等价 , 这个过程称为把向量组a1 a2 ar 规范正交化,施密特正交化方法 设向量组a1 a2 ar线性无关 取向量组,容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价,
4、把b1 b2 br单位化 即得一个规范正交向量组,例1 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化,解,令b1a1,再令,e1 e2 e3即为所求,三 正交矩阵 如果n阶矩阵A满足ATAI (即A1AT) 那么称A为正交矩阵 ， 简称正交阵,定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是 单位向量 且两两正交,证明：,正交矩阵举例,正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵,正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换,设yPx为正交变换 则有,特点： 经正交变换线段的长度保持不变， (从而三角形的形状保持不变)。,
