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1、自动化车床管理摘要本文针对自动化车床的刀具寿命的问题，建立了单目标动态规划模型。首先我们使用MATLAB 软件包对 100 次刀具故障记录数据处理作直方图, 用分布拟合检验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布，假设其他故障服从均匀分布。继而求出系统工序的寿命分布函数，列出以合格零件单位期望为目标，关于检测间隔和刀具定期更换间隔为变量的单目标函数方程，最后利用计算机进行列举比较求解，从而得出取得最大经济效益的系统工序的最优检测间隔以及最优刀具更换策略。对于问题一，我们确定了三个技术指标：检查间隔（生产多少零件检查一次）、刀具更换间隔单位期望损失。本问假设工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时
2、产出的零件均为合格品。用Mathlab软件计算各项指标为= = =对于问题二，该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。根据零件的合格与否来判断刀具的好坏会存在误差，文中工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。用Mathlab软件计算求解各项指标得：= = = 对于问题三，在问题二的条件下,我们采取两次连续检验的方式，制定方案，减小误判的几率，从而使损失费用减小到最低。本文在第一、二问中采用了以一次检查为单元的等间距检查方案，进行预备性替换或事后替换，解决了问题，在问题三中提出了以两次甚至多次检查为单元的等间
3、距检查方案，优化了模型。随后我们还进行了灵敏度分析，分析了各个参数对单位期望损失的影响以及在影响中所占的比重，使本文对实际问题有一定的参考和指导意义。 关键字：动态规划 正态分布 单位期望损失（一）问题的提出一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 已知生产工序的费用参数如下： 故障时产出的零件损
4、失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次； 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。 1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得
5、更高的效益。 附:100次刀具故障记录(完成的零件数)459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975564969751562895477160940296088561029283747367735863869963455557084416606106248412044765456433928024668753979058162172453151257749646849954464576
6、4558378765666763217715310851（二）基本假设与符号说明2.1 基本假设1、假设此工序加工零件出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同，且相互独立。2、假设更换刀具或故障调节后，工序恢复初始状态。3、假设一台自动化车床只有一把刀具。4、假设零件检查、故障调节和更换刀具时间均很短,在下一个零件产出前完成。5、假设所给的 100 次刀具故障记录是准确的。6、假设以工序合格零件的单位期望损失为目标函数。7、假设生产任一零件的所需时间相等。8、假设其他故障数据服从均匀分布。2.2 符号说明 ：表示零件的损失费，=200元/件 ：表示检查的费用, =10元/
7、次：表示进行故障调节平均费用，=3000元/次(包括刀具费)：表示未发现故障时更换一把新刀具的费用 ，=1000元/次：表示工序正常而误认有故障停机产生的损失费用，=1500元/次：表示样本容量：表示检查间隔：表示刀具出现故障时已生产的零件个数：表示到第次检查为止已产生的零件个数（）：表示刀具更换间隔：表示工序正常时产出的零件为合格品的概率：表示工序故障时产出的零件是合格品的概率：表示正品个数的期望值（没有乘概率）：表示第次检查为不合格品而停产时已产生的正品个数：表示正品个数的期望：表示产品个数的期望值：表示产品个数的期望：表示废品个数的期望：表示检查次数的期望值：表示检查次数的期望：表示好刀
8、具误判的期望值：表示好刀具误判的期望 ：表示至更新周期刀具仍未出现故障的概率：表示系统的失效概率密度（三）问题的分析一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占（=95%）, 其它故障仅占（=5%）。根据100次刀具故障记录分析可知，刀具故障导致的刀具寿命服从N（600,196.62）的正态分布；而工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。自动化车床发生故障时, 要及时实施维修, 如果检查周期太长, 故障不能及时发现, 给生产带来损失; 检查周期太短, 又会增加费用, 因为车床出现故障是随机的, 问题是如何安排设备检查
9、方案, 使得刀具更换时, 每个零件的平均费用最低. 为解决此问题我们建立了单目标期望值模型： 根据本题要求我们设计了两个指标检查间隔（生产多少零件检查一次）、刀具更换间隔。我们将样本空间分为个阶段：前个阶段每个阶段进行一次检查，第阶段不进行检查只执行换刀操作，即到了换刀周期不管刀具是否检查出故障都必须进行换刀操作。问题一的分析： 对于问题一，在假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，我们以检验一个零件的合格与否作为判断刀具损坏的标准，即在刀具更新周期内，若检查出零件不合格，就停止生产，采取刀具更新；否则继续生产。若检查零件为合格的, 则工序未出现故障, 此时更换刀具称
10、为预备性替换（如图一）; 若检查零件为不合格的, 则工序必已出现故障, 此时应立即更换刀具, 此称为事后替换(如图二)。问题二的分析：对于问题二，情况较为复杂, 因为仅凭 1 次检查零件是否合格, 不能准确判断工序是否正常。这时我们可以采用两次连续检查的方式,通过两次检查的结果，判断是否换刀，这样可以有效地减少误判的几率；若到换刀周期结束时，刀具仍未检查出故障也必须换刀具。问题三的分析：在问题二条件的基础上，为了进一步减小误判的概率，从一次检查一个零件到一次检查两个零件，提出了改进方案。 （四）模型的建立与求解4.1 数据处理4.1.1刀具故障完成零件个数的数据统计分析. 我们使用M A TL
11、AB 软件包对 100 次刀具故障记录数据处理作直方图, 用分布拟合检验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布。假设：刀具寿命为的概率密度为：由极大似然估计法得，将分为阶段，若为真，则刀具寿命为的概率密度为：图1 直方图与分布拟合检验图4.1.2其它故障完成零件个数的数据统计分析. 由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占（=95%）, 其它故障仅占（=5%）。其它故障数据近似服从均匀分布：4.1.3工序故障完成零件个数的数据统计分析.综上两种情况，加权可得车床的寿命为的概率密度为： 4.2模型一：4.2.1模型一的建立该工序正常时产出的零件为合格品的概率是，不合格品的概率是；该
12、工序故障时产出的零件是合格品的概率为，不合格品的概率是。表一 零件状态的概率分布工序正常工序故障检查出零件为合格品检查出零件为不合格品假设刀具的寿命产生的零件个数为，概率为， 表示第j次检查为不合格品时停产。若在刀具更换周期前就检查出故障，则在此次检查后立即换刀；若没检查出错误，则至换刀周期事业必须换刀。i. 刀具在更换周期前检查出故障的条件为；ii. 刀具在更换周期的同一时段检查出故障的条件为；iii. 刀具至更换周期到来时仍没有检查出故障。一、当事件发生时，正品个数的期望值：（1）时， 其中， ， ，（2）时，其中， （3）时，其中，二、当事件发生时，产品个数的期望值（1）时，即刀具在更换
13、周期前检查出故障但造成误判。（2）时，三、检查次数的期望值（1）时，（2）时，四、好刀具误判的期望值（1）时，（2）时， 综上所述：正品个数的期望产品个数的期望废品个数的期望检查次数的期望误判次数的期望当到第n次检查时，刀具仍为好刀（）的概率为: 目标函数: 4.2.2 模型一的求解问题一：， 代入方程求解可得，问题二：，代入方程求解可得，4.3 模型二：4.3.1模型二的建立 本次模型我们采取一次检查两个零件的方案，检查结果对生产造成的影响如下：各种检查结果的概率如下表：表二 检查结果概率分布好刀具坏刀具好刀误判合格品，合格品-不合格品，合格品合格品，不合格品不合格品，不合格品合计11-假设
14、刀具的寿命产生的零件个数为，概率为， 表示第j次检查中至少有一个为不合格品时停产。若在刀具更换周期前就检查出故障，则在此次检查后立即换刀；若没检查出错误，则至换刀周期事业必须换刀。a) 刀具在更换周期前检查出故障的条件为；b) 刀具在更换周期的同一时段检查出故障的条件为；c) 刀具至更换周期到来时仍没有检查出故障。一、当事件发生时，正品个数的期望值：（1）时，其中， ，（2）时，其中， （3）时，其中，二、当事件发生时，产品个数的期望值（1）时，（2）时，三、检查次数的期望值（1）时，（2）时，四、好刀具误判的期望值（1）时，（2）时，综上所述：正品个数的期望产品个数的期望废品个数的期望检查次
15、数的期望误判次数的期望当到第n次检查时，刀具仍为好刀（）的概率为: 。目标函数: 4.3.2 模型二的求解（五）刀具故障及其灵敏度分析（六）模型的评价与改进5.1模型的优点（1）我们通过一些合理的假设，针对刀具加工一定件数后定期更换新刀具问题建立了一般模型，单目标动态规划模型求出了最优解，合理的检查间隔与刀具更新策略，解决了实际问题，最大程度上降低了损失率。（2）新刀具刚开始加工零件时，工序出现故障的概率比较小，通过求解得出了合适的一个检查点，而非单纯从第一个零件开始检查，则可以减少检查次数，降低检查成本。5.2 模型的缺点及改进方案（1）此模型为等间距检查模型。在实际情况中，随着刀具生产零件
16、的数量增加，工序故障的概率越大，此时应减小检查间隔、增大检查频率。因此，不等间距检查模型（如等差数列）明显要优于等间距检查模型。（2）一次检查一个零件，通过这个零件的合格与否来判定工序是否出现故障的方式，造成误判的概率比较大。可采取一次检查多个零件，减小误判的概率，来进行模型的改进。（3）本文所阐述的模型是以单位期望效益为目标的更新报酬定理的改进与推广。它广泛适用于自动化车床的管理系统, 但只能是单道工序加工单一零件的情况,但对多道工序和多种零件的复杂车床管理系统不适用。（4）在假设中我们假设检查零件时如检查到不合格零件, 立即停止生产 （即不再产生不合格零件），而实际中由于检查时间不容忽视,必然会多产生一些不合格产品, 本模型中并没有考虑,会造成一些误差。（5）本模型没有对故障及维修时间提出具体要求, 即在整个工序中如何尽量提高生产效率问题上留下了遗憾。参考文献1 宋来忠，王志明 数学建模与实验 北京 科学出版社,20052 朱道元 数学建模案例精选 科学出版社 20033 李亚琼 黄立宏概率论与数理统计科学出版社2007-84 中国科学院数学研究所运筹室 最优化方法 北京 1980附录14
