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1、空间向量的应用1. 4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【第一学时】【学习目标】1 .能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。2 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。3 .能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理。4 .能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。【学习重难点】重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。【知识梳理】一、自主导学（一）空间中点、直线和平面的向量表示1 .点的位置向量在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点p就可
2、以用向量而来表示。我们把向量而称为点P的位置向量。如图。2 .空间直线的向量表示式如图，a是直线/的方向向量，在直线/上取方=a,设P是直线/上的任意一点，则点P在直线/上的充要条件是存在实数Z,使得Q=a,即Q=/荏。如图，取定空间中的任意一点0,可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数，,使万？=而+出,或而=而+/荏。式和式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。田O田3 .空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数my,使而=嬴+标+）充。我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式。由
3、此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。/4 .平面的法向量如图，直线/_La,取直线/的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量。给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合P而=0。点睛：空间中，一个向量成为直线/的方向向量，必须具备以下两个条件:是非零向量；向量所在的直线与/平行或重合。（二）空间中直线、平面平行的向量表示位置关系向量表示线线设,R2分别是直线h,12的方向向量，则平行1h=Zz2=3R,使得=2.线面设是直线1的方向向量，n是平面的法向量，平行10,贝IJa=J-=n=0.面面设n,0分别是平面a,的法向量，则平
4、行anZz23R,使得n1=n2.点睛：L空间平行关系的本质是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量匕?此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点，证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点。1 .下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的2 .若直线/过点A(-l,3,4),(l,2,1),则直线/的一个方向
5、向量可以是()3 .若两个向量荏二(1,2,3),C=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()B.(1,2,1)C. (1,2, -1)D. (-1,2, 1)4 .若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行，则x=,y=。5 .若平面B外的一条直线，的方向向量是u=(-l,2,-3),平面夕的法向量为n=(4,-1,-2),贝U/与用的位置关系是o【学习过程】一、情境导学牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造。旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物，
6、一般较高大。如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢？二、典例解析例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱尸。_1_底面ABCDfPD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量。延伸探究：本例条件不变，你能分别求出平面心。与平面PCQ的一个法向量吗？它们之间的关系如何？利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z)。(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(m,b,ci),b=(2,b2,C2)。(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组卜”=0，nb0
7、.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。跟踪训练L如图所示，已知四边形ABCQ是直角梯形，AD/BCfNABC=90。，SA_1平ffiABCD9SA=AB=BC=tAD=,试建立适当的坐标系。(1)求平面ABCO的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCo的一个法向量。例2.在长方体ABCQ-AIBlGOl中，48=4,AD=3,A=2,点P,Q,R,S分别是AAi,DiCi,AB,CG的中点。求证：PQRS.归纳总结：利用空间向量证明线与线平行的方法证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行。跟踪训练2.在正方体A8
8、CDABGO中，点尸在线段4。上，点Q在线段AC上，线段P。与直线4。和AC都垂直，求证：PQBD,例3.如图，在正方体ABCQ-AGOl中，M,N分别是CiCBcl的中点。求证：MN平面AiBO.利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量P与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量，即满足P=Xa+yb(x,yR),则p,a,b共面，从而可证直线与平面平行。(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量P与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行。(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行
9、。跟踪训练3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=AF=I,M是线段E/的中点。求证：AM平面8OE。E例4.如图所示，在正方体48CO-A8CQ中，O为底面ABC。的中心，P是。DI的中点，设。是CG上的点，问：当点Q在什么位置时，平面。山Q平面以。?利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明；(2)通过证明两个平面的法向量平行证明。跟踪训练4.在长方体A8CDABGO中，DA=2fOC=3,DD1=4,M,MEfF分别为棱AO1，AiBi,DiCi,SCl的中点。求证：平面AMN平面EF30.金题典例：如图，在正方体A
10、BCO-ABO中，求证：平面HBTT平面3。Ci【达标检测】1.若不重合的直线/1，/2的方向向量分别为a=(l,2,-2),b=(-3,-6,6),则()A. h/12B. 2C. /1，/2相交但不垂直D.不能确定2 .已知线段AB的两端点坐标为A(9,3,4),8(9,2,1),则直线AB()A.与坐标平面Xo)，平行B.与坐标平面yz平行C.与坐标平面XoZ平行D.与坐标平面0z相交3 .若平面。或，则下面可以是这两个平面法向量的是()A.n=(l,2, 3),2=(-3,2, 1)B.C.IIl=(1,1,1), n2=(-2, 2, 1)D.n=(l,1f 1), 2=(-2, -
11、2, -2)i=(l,2,2),2=(-2,2,1)4 .已知/,且/的方向向量为(2,加，1),平面a的法向量为(1,2),则用=5 .已知正方体A8CQ-A3GO的棱长为2,E,F分别是3囱，。的中点,求证：(1)尸Cl平面ADE(2)平面ADE平面场G尸。课堂小结空间中点、直线和平面的向量表示参考答案：知识梳理1 .答案：B解析：由平面法向量的定义可知，B项正确。2 .答案：D解析：AB=(2f-1,-3)=-3(-,1),故选D3.答案:A解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则AB= 0,n AC = 0,即 + 2y + 3z = 0, 3x + 2y + z = 0.令
12、X=-1,则y=2,z=-l.即平面ABC的一个法向量为=(-L2,-1)。4.答案：-12；15解析：因为两条直线平行，所以aB.于是：=_,得=2,z=lfn=(2t-1,l)0例2.证明：(方法1)以点。为原点，OA,DC,OQl所在直线分别为X轴，y轴，Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,I),PQ=RSfPQ/RStgpPQ/RS.(方法2)丽=前+在三比一病+；西，PQ=PA+AQ=DD+DC-DAfRS=PQ,RS/PQ,gpRS/PQo跟踪训练2.证明：以
13、点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则。(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,O),A(l,0,1),Z)I(0,0,1),Dj41=(10,1),C=(-LL0),设所=(,b,c),r1.(DA1PQ=0,口rl(+c=0,Ir则一L即取PQ=(1,1,-1)。VACPQ=0,(-Q+b=0,易知西二(-1,-1,1),:所=-西，pqbdI,BPPQ/bd.例3.思路分析思路一：可证明而与项，丽是共面向量;思路二：可证明而与平面43。中的西是共线向量；思路三：可通过平面AiBQ的法向量来证明。证明：（方法1）丁丽=物一的而一瓦雷二而
14、一尻一用+石瓦=221ZWV,DF,福是共面向量。又：MN0平面Am.：MN平面A8D.（方法2）VMN=CJV-CM=CK-（D11-DD）=DAf.:而西。又：MNC平面A山Q,：MN平面A4。.(方法3)以。为原点，DAtDC,Oq所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，如图。设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,N01,1),0(0,0,0),A1(1,0,1),3(1,1,0)o于是而=g,0,J,d7=(1,0,1),DB=(1,1,0)o设平面43D的法向量为n=(x,y,z),则f竺=，得卜+z=R(DB=O,(%+y=0.取X=1,得y=-l,z=-l,n=(l,
15、-L-l)0rMNn=Q,0,)(1,-1,-1)=0,MNno又丁MNC平面AlBDf：MN平面AiBD.跟踪训练3.证明：建立如图所示的空间直角坐标系。设AC8D=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是(苧，号，0),(0,0,l)0所以证=(-苧，l)o又点A,M的坐标分别是(L2,0),(y,y,1),所以祠=(-安乎，1)。所以祢=前，且AeNE,所以NEAM。又因为NEU平面8。七，AMU平面5OE,所以AM平面8。及例4.思路分析建立空间直角坐标系，设出点。的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明。解：如图所示，分别以OA,DC,O
16、n所在直线为JGy,z轴，建立空间直角坐标系，在CG上任取一点Q，连接3。，DiQ0设正方体的棱长为1,则0(0),P(0,0,J,A(l,0,0),8(1,1,0),D(0,0,1),贝IJQ(0,1,m)o(方法1)因为加=(-0,西二(-1,-1,1),所以赤西，于是O尸BOiAP=(-1,0,3),8Q=(-1,0,相)，当加苫时，AP=BQ,BPAP/BQf有平面雨0平面。山Q,故当。为CG的中点时，平面。加。平面雨。(方法2)丘=&J，0)，而=信，4，J_._,(-y=0，设平面附。的法向量为n=,y,Z),则有m_L04,nOP,因此12-.-y+-z=O,取x=l,则IIl=
17、(1,1,2)。又因为西二(4,-1,1),QD=(O,-1,1-m)。设平面。3Q的法向量为m=(x,y,z),则有ii2_L西，H2_lE，因此(+=l-y+(l-m)z=0,取Z=L则H2=(m,1-m，1)。要使平面0山。平面用。,需满足niH2,因此工=-二；,解得z=j这时(0,1,J)。故当0为CG的中点时，平面DBQm1-m122/平面PAO.跟踪训练4.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),BQ,3,0),M(l,0,4),N(2,|,4),E(0,|,4),F(l,3,4)。:丽=(1,0),EF=(1,|,0),7=(-1,0,4),FF=(-1,0,4
18、)。.MN=EFfAM=BFo：MNEF,AM/BF.二MN平面EFBD,AM平面7由。.又MNnAM=M,：平面AMN平面EFBQ.金题典例：解题提示：证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线面平行、线线平行即可。证明：(方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),B(l,1,1),D,(0,0,1),B(l,1,0),0(0,O,O),C(0,1,1),于是超二(0,1,1),Fft=(1,1,O),DF=(1,1,0),设平面A9。的法向量为n=(R,y,z),则n而，n，而，即Fl竺=%+z=O,Vn1DB=x1+y1=0.
19、令V=I,则汨=-1,Z=-l,可得平面ABZT的一个法向量为m=(-l,1,-l)o设平面BDC的法向量为112=(%,兀，Z2)。则m，加H21DC，即卜色=小+2=。，,n2DC=y2+Z2=0.令)2=1，则X2=LZ2=-l,可得平面BZ)C的一个法向量为i2=(-L1,-1)。所以n=m,所以niH2,故平面ABTy平面BDC。(方法2)由方法1知布二(1,0,1),FC=(1,0,1),ABi=(Of1,1),DC=(0,1,1),所以布=於，AB=DCt即AD/BC,AB7DC所以AZr平面8QC,A夕平面BOC。又AZynAB三A,所以平面A夕。平面BDCo(方法3)同方法1
20、得平面ABTT的一个法向量为m=(-L1,-1)。易知丽=(1,1,0),DCt=(O,1,l)o因为Hi丽=(-1,1,-1)(1,1,0)=0,nDC=(-l,1,-l)(0,1,1)=0,所以m也是平面80C的一个法向量，所以平面A3。平面BDCo点睛：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段，特别是有垂直关系的一些几何体，如正方体，长方体，直棱柱，有一条侧棱垂直于底面的棱锥等，其中长方体(或正方体)是最简单的模型。【达标检测】1 .答案：A解析：因为3=；=?,所以aB.又直线,/2不重合，所以八，/2平行。-3-Oo2 .答案：B解析：
21、因为A(9,-3,4),3(9,2,1),所以彳5=(0,5,-3),而坐标平面)，Oz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)-(1,0,O)=0,故直线AB与坐标平面)，Oz平行。3 .答案：D解析：因为平面。少所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合。4 .答案：8解析：设a=(2,m,1),b=(l,1,2)。因为/,所以a_LB.于是2+1+2=0,则n=-8.5 .证明：如图，建立空间直角坐标系DXyz,0(0,0,0),4(2,O,O),C(0,2,O),C(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),BQ2,2),所以析二(0,2,1),D=(2,O,O),E=(
22、0,2,1)。即(兀1。4= 2 %I = 0,n1AE = 2y1 + z1 = O,(1)(方法1)设m=(j,y,Zl)是平面ADE的法向量，则IllJ_万5,mE,得/,令z=2,则y=-l,IZl=-2y1o所以IIl=(O,-1,2)O因为沆;it】=-2+2=0,所以用_LnL又因为尸GR平面ADEf所以尸Cl平面ADE0(方法2)设用=2万X+荏，则(0,2,1)=2(2,0,0)+(0,2,1),p=0,_所以(2=2,解得C;即用=0而+荏，所以画与万荏是共面向量。L=1，又因为尸GC平面AQE,所以产G平面AD瓦(2)ClBl=(2,0,0)o设m=(x2,”，Z2)是平
23、面BleIF的一个法向量。由2l近7，2C1F1,得2，FCi=2y2+z2=Of得(x2=。,1九2。18=2%2=0,1z2=一2、2。令Z2=2,则y2=-l，所以H2=(0,-12)。因为n产H2,所以平面ADE平面BGF。【第二学时】【学习目标】1 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。2 .能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理。3 .能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系。【学习重难点】重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系【知识梳理】一、自主导学空间中直线、
24、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线h,L的方向向量分别为,M2，则Il2-L212=线面垂直设直线1的方向向量为,平而的法向量为n,则ln3R,使得=n面面垂直设平面a,。的法向量分别为n2,则aJ-P=nn2n1n2=O二、小试牛刀1 .判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“4”，错误的打“x”。（1）若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交。（）（2）若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.（）（3）两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直。(4)若两平面,4的法向量分别为U
25、l=(1,0,1),U2=(0,2,0),则平面扇夕互相垂直。()2 .设平面的法向量为(1,2,-2),平面A的法向量(-2,4k),若a邛,则左=()A. 2B. -5C. 4D. -2【学习过程】一、情境导学类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？二、典例解析例1.如图，在四棱锥尸-ABCO中，以_L平面ABCQ,四边形ABC。是矩形，PA=AB=f点尸是尸3的中点，点上在边BC上移动。求证：无论点上在边BC上的何处，都有PE_LA凡延伸探究本例条件不变，求证：AF-LSC.利用向量方法证明线线垂直
26、的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于O,从而证明两条直线的方向向量互相垂直。跟踪训练1在正方体A8CD-A8CD中，E为AC的中点。求证：(1)BDi.LAC;(2)BDJEBl例2在棱长为1的正方体ABCZ)-A由IGol中，E,F,M分别为棱A8,BC,BIB的中点。求证：DlM_L平面EFBx.利用空间向
27、量证明线面垂直的方法(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论。(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论。(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论。跟踪训练2如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CDfABADtAB=41CO=2
28、,AD=22,%_!_平面ABCO,PA=4.求证：平面PAC.例3如图所示，在直三棱柱ABC-ABlC中，ABLBC,AB=BC=2fBBl=I,点E为BBi的中点，证明：平面AEG-L平面AACIC利用空间向量证明面面垂直的方法1 .利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。跟踪训练3如图，在五
29、面体ABCOEF中，EAJ_平面ABCDAD/BC/FEtABLAD,M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD求证：平面平面Cz)EJ金题典例如图，在直三棱柱ABeA8G中，底面是以NABC为直角的等腰直角三角形,AC=2afBBl=3af。是AIG的中点，E是5C的中点。(1)求coso(2)在线段A上是否存在点凡使。凡L平面BoF?若存在，求出I而|；若不存在，请说明理由。C1应用空间向量解答探索性(存在性)问题立体几何中的存在探究题，解决思路一般有两个：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或参
30、数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。【达标检测】1 .若直线/的方向向量为a=(l,-2,3),平面的法向量为n=(-3,6,-9),则()A. IUaB. laC. ILaD. /与相交2 .在正方体45CQ-A山IGOl中，,F分别是8囱，Co的中点，则()A.平面AEQ平面A尸Ql8 .平面AEO_1_平面AIF5C.平面AEz)与平面4产出相交但不垂直D.以上都不对3 .若直线/的方向向量是a=(l,0,-2),平面4的法向量是b=(-l,0,2),则直线/与尸的位置关系是。4 .如
31、图，在四面体ABeQ中，ABl5FffiBCD,BC=CD,ZBCD=90o,ZADB=30o,E,尸分别是AC,Ao的中点，求证：平面平而48C5 .如图所示，在长方体ABCO-4ClDl中，AD=1,AB=AA1=2,N、M分别是4B、CID的中点。(1)求证：NM平面(2)求证：NM_L平面A】BIM。参考答案：知识梳理二、小试牛刀1 .答案：(1)(2)(3)X(4)2 .答案：B解析：因为J,所以282欠=0,解得k=5.【学习过程】例1思路分析只需证明直线PE与A厂的方向向量互相垂直即可。证明：(方法1)以A为原点，以A。，AB,AP所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
32、，设AO=小则A(0,0,0),P(0,0,1),8(0,1,O),C(a,1,0),于是。，”卜rE在BC上，：设E(m,1,0),PF=(w,1,-1),AF=(0,3。VPE-AF=OfPEVAF.：无论点E在边BC上何处，总有PE_LAF。(方法2)因为点E在边8C上，可设丽=2近,于是赤AF=(PA+AH+FE)(AP+4F)=(PA+刀+2近).(屈+AP)=(PAAB+PAAP+ABAB+ABAP+BCAB+BCP)=(O-1+1+0+0+0)=0,因此而，而。故无论点E在边BC上的何处，都有PEJ_AF。延伸探究证明：同例题建系，易知万t二(0,FC=(a,0,0),因为布前二
33、0,所以AFBC,跟踪训练1证明：以。为原点，DA,DC,DDi所在直线分别为X轴、)，轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设正方体的棱长为1,则8(1,1,0),D1(0,0,1),4(1,0,0),C(0,1,0),檐，0),8(1,1,l)o(1) ;西二(-1,-1,1),C=(-1,1,0),.:西C=(-l)(-l)+(-l)l+l0=0.BDlACf/.BDiLAC,(2) ;西二(1，-1,1),西=G，1),：西fK=(-1)(-1)11=O,.:西，西，BD1EB例2思路分析一种思路是不建系，利用基向量法证明瓦瓦与平面EFBx内的两个不共线向量都垂直，从而根据线面垂直的
34、判定定理证得结论；另一种思路是建立空间直角坐标系，通过坐标运算证明印?与平面EFB内的两个不共线向量都垂直；还可以在建系的前提下，求得平面或咕I的法向量，然后说明印/与法向量共线，从而证得结论。证明：(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,的中点,一.”一*.！，1.1所以DlM=D1B1+BlM=DA+DC+-B1B9而BlE=BB+BEBlBDC,于是取BE=(DA+DC+-W)0-0+0-+-0=0224因此印？J,瓦石。同理印？_L瓦下,又因为印，用不共线,因此OlM_L平面EFBl(方法2)分别以。A,DC,OOi所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系。则DI(0,0,1)
35、,M(1,1,1),囱(1,1,1),(1,0),F,1,0),于是瓦丽=(1,1,-i),O=(0,-i,-1),解=(彳，0,-1),因此取O=o+(-)+(4)(i)=o,故取1庭；XDi?F=1(-)+lO+(-0(-l)=O,故可？上瓦瓦又瓦石，吊尸不共线，因此OlM_L平面EFBl(方法3)分别以D4,DC,Dd所在直线为R轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则。1(0,0,1),M(l,1,B1(1,1,1),(1,0),F(i,1,0),于是取=(1,1,-i),率=(0,-1),印=(彳，0,-1),设平面EFBi的法向量为n=Q-,y,z),(_jy-z=0,于是n_LBE,
36、nF1F,因此?产Z=0,取x=2,则y=2,z=-l,即n=(2,2,-1),而(1,1,4)=1(2,2，-1)，即瓦元=、,所以瓦7?n,故。IM_L平面瓦3.跟踪训练2证明：因为4P_L平面ABCO,ABLADf所以以A为坐标原点，ABfAO,AP所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系。则3(4,0,0),P(0,0,4),D(0,22,O),C(2,22,O),所以前二(-4,22,0),C=(2,22,0),而二(O,O,4)。所以前C=(-4)2+2222+00=0,FDAP=(-4)0+220+04=0,所以80_LAGBDLAPo因为APnAC=A,ACU平面以C
37、,APu平面B4C,所以平面PAC.例3思路分析要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n”i2,证明ii2=0解：由题意得AB,BC,88两两垂直。以点B为原点，BA,BC,88所在直线分别为x,yZ轴,建立如图所示的空间直角坐标系。则A(2,O,O),A(2,0,1),C(0,2,O),Ci(0,2,1),E(0,0,1),则矶二(0,0,1),AC=(-2f2,O),ZZ=(-2,2,1),AE=(-2f0,设平面A4GC的一个法向量为III=(为，y,zl)o则M竺1=ZI=0，In1C=01-2X1+2y1=0.令XI=1,得y
38、=l1n=(l,1,0)o设平面AECl的一个法向量为m=(x2,力，Z2)。r.An2jACl=O,(-2x2+2y2+z2=0.n2AE=0(-2%2=。，令Z2=4,得X2=l,y2=-l.2=(1,1,4)o*nn2=l1+1(-l)+04=0,Znn2,：平面AEGJ平面AAiGC跟踪训练3分析：因为项，平面ABCQ,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系。证明：如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=I,依题意得A(0,0,0),M住，1,C(l,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),则祠=Q,1，J，CE=(-b0,1),D=(0,2,0),可得奇怎=0,C
39、E-AD=O,因JCELAM,CELAD.又AMnAo=A,：CEJ_平面AMD又CEU平面CED,：平面AMo_L平面CED.金题典例A解：(1)以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。VAC=2afNABC=90。，AB=BC=V2A.23CLr -Cl Ir22 ),：3(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),8(0,0,3),A(2,0,3),C(0,2,30),D宵a,苧,3),E(0,CA1=(2a,-V2d,3。),布二(0，4Q，)。/CA1=y13arBE=-afCA1E=Qa1+a2=a2cos=-BECA 143(2)存在。理由如下：假设存在点R使C/，
40、平面尺不妨设AF=Zb贝IJFma,0,b),CF=(2af-2tv,b),F=(2,0,h-3a)f取=(乎2八Ta,)。VCFBD=a2-a2+0=0fCF1瓦方恒成立。由帝CF=2az+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a,:当I而=或I而=2时，CF_L平面5OF。【达标检测】1 .答案：C解析：/直线/的方向向量为a=(l,-2,3),平面的法向量为n=(-3,6,-9),Za=-n,.：an,Zao故选C.2 .答案：B解析：以。为原点，DA,DC,西分别为羽y,z建立空间直角坐标系，求出平面AEO的法向量m与平面A尸Ql的法向量H2.因为IIrll2=0,
41、所以故平面A项LL平面AiFDl3 .答案：/_LA解析：因为ab,所以LLd4 .证明：建立空间直角坐标系，如图，取A(0,0,。)，则易得伏0,0,0),C(工,a,0),D(0,3t,O),E(-at-af-),F(0,a,-L22,44222JrZBCD=90o,/.CDBC.748_L平面SCO,/.ABCD.又丁ABCBC=B,：Co_L平面ABC.ACD=(-ya,a,0)为平面ABC的一个法向量。设平面班尸的法向量II=(x,y,z),ZnFF=O,即(x,y,z)(-斗a,a,O)=O.：R=y。由nFF=O,即(JGy,z)(,ya,有fay+1z=0,：Z=-3,o取y=L得n=(l,1,-V5)o：nCD=(l,1,-3)(-ya,ya,0)=0,nCDo：平面BERL平面ABe5.证明：(1)以。为原点，OA为%轴，OC为y轴，DDl为Z轴，建立空间直角坐标系,在长方体力BCo-Al/ClDl中，AD=1,AB=AA1=2,N、M分别是48、Go的中点,.M(0,1,1),N(1,1,O),MM=Q,。，-1),平面AWD的法向量元二(0,1,),.丽”=0,.MNU平面DD,.mn平面
