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1、北师大版九年级数学-二次函数的图像和性质,北师大版九年级数学-二次函数的图像和性质,汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?,刹车距离与二次函数,你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?,雨天行驶时,由公式(2)来计算：,影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(kmh)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定:,汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?刹车,比较函数 与 的图象,完成下表：,在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?)
2、,比较函数 与 的图象,V/(km/h),s,-20,0,20,40,80,100,120,140,128,100,72,64,36,16,32,描点,连线,60,144,200,288,(1)两个图象有什么相同与不同?,相同点：(1)它们都是抛物线的一部分；(2)二者都位于纵轴的左侧.(3)函数值都随V值的增大而增大.,不同点：(2)的图像在(1)的图象的内侧.(2)的s比(1)中的S增长速度快 .,观察图象,回答问题串,做一做3V/(km/h)s-2002040801001201,V/(km/h),s,-20,0,20,40,80,100,120,140,观察图象,回答问题串,60,(2)
3、如果行车速度是60kmh，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?你是怎么知道的?,128,100,72,64,36,16,32,144,200,288,刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解析式都可以获知.,做一做4V/(km/h)s-2002040801001201,函数y=ax2(a0)的图象和性质,在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象,(1)完成下表：,(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象,函数y=ax2(a0)的图象和性质在同一坐标系中作二次函数,二次项系数a0,开口都向上;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点都是原点(0,0).,二次函数y=2
4、x2的图象形状与y=x2一样,仍是抛物线.,(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,只是开口大小不同.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次项系数a0,开口都向上;对顶点都是二次函数y=2x2的,二次项系数a0,开口都向下;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点都是原点(0,0).,二次函数y=-2x2的图象形状与y=-x2一样,仍是抛物线.,(4)二次函数y=-2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=-x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐
5、标分别是什么?,只是开口大小不同.,请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.,二次项系数a0,开口都向下;对顶点都是二次函数y=-2x2,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且
6、向下无限伸展.,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大.,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.3.当a0,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着
7、x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax2的性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象.,二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=2x+1的图象与,二次项系数为2,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它
8、与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最小值不同:分别是1和0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为2,开口向上;顶点不同,分别是二次函数y=2x2,y,二次项系数为-2,开口向下;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1).,二次函数y= -2x2+1的图象形状与y= -2x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
9、?,位置不同;最大值不同:分别是1和0.,想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?,y二次项系数为-2,开口向下;顶点不同,分别是二次函数y=,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与二次函数y=3x的图象.,驶向胜利的彼岸,二次函数y=3x一l的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与,二次项系数为正数3,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=3x2-1的图
10、象形状与y=3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最大值不同:分别是 -1和0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?,二次项系数为正数3,开口顶点不同,分别是二次函数y=3x2-,二次项系数为负数-3,开口向下;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y= -3x21的图象形状与y= -3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与
11、二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最大值不同:分别是0和-1.,请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.,二次项系数为负数-3,开口顶点不同,分别是二次函数y= -3,二次函数y=ax2+c的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限)
12、.,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax2+c的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位,二次函数y=ax+c与=ax的关系,1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在y轴左侧
13、,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.3.联系: y=ax+c(a0) 的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c0时向上平移;当c0时,向下平移).,回味无穷,二次函数y=ax+c与=ax的关系1.相同点: (1)图,试一试,1二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.二次函数 和 呢?,2二次函数 和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.二次函数 和 呢?.,试一试1二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?,感谢聆听,感谢聆听,
