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1、第二十一章 排列 组合 二项式定理,知识结构网络图：,排列与组合,二项式定理,基本原理,排列,组合,排列数公式,组合数公式,组合数的两个性质,二项式定理,二项式系数的性质,一、分类计数原理（加法原理）：完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.,要点：（1）分类； （2）相互独立；（3） N=m1+m2+mn（各类方法之和）,复习第十一章概率与统计初步,分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的
2、方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N = m1m2mn种不同的方法.,要点：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3） N = m1m2mn （各步方法之积）,总结出两个原理的联系、区别：,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,每类办法相互独立，每类方法都能独立地完成这件事情,各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事,都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题,二、排列的概念：,从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
3、说明： （1）排列的定义包括两个方面： 取出元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件： 元素完全相同，元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.,排列数的定义：,从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数.,用符号表示:,区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.,排列数公式,从n个元素a1,a2,a3,an中任取m个元素填空，一个
4、空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有 种填法 .,说明：,（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数； （2）全排列：当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.,全排列数：,排列数公式阶乘表示：,一般地，从n个不同元素中取出m（mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 说明： 不同元素； “只取不排”无序性； 相同组合：元素相同,三、组合的概念：,组合数的概念：,从n个不同元素中取出m(m
5、n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示:,组合数公式 :,一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分如下两步：, 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ；, 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：,组合数性质1：,组合数性质2：,排列和组合的区别和联系：,从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组,全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所有全排列的个数，即：,（a+b）n=,将(a+b)n展开,五、二项式定理：,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
6、,对称性,1）请看系数有没有明显的规律？,2）上下两行有什么关系吗？,3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法二项式系数表.在书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,通项公式,叫做二项式系数,二项式定理：,1.系数规律：,2.
7、指数规律：,各项的次数均为n；其中每一项中a的次数由n降到0, b次数由0升到n.,3.项数规律：,二项和的n次幂的展开式共有n+1个项.,二项式定理的特点,4.注意区别二项式系数与项的系数的概念,项的系数为：二项式系数与数字系数的积,即 字母的系数.,二项式系数为,特别地:,2、令a=1，b=x,1、把b用-b代替,3、令a=1，b=1,证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,赋值法,证明：,(奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和)：,归纳提高,求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个
8、或几个等式，再根据结果求值,赋值法,相关练习题,若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+ a2+a4+a6的值 求 a1+ a3+a5+a7的值,练习1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值,练习2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a2+a4+a6的值,注：1）注意对二项式定理的灵活应用,2）注
9、意区别二项式系数与项的系数的概念,二项式系数为 ；项的系数为：二项式系数与数字系数的积,解:,解:,第三项的二项式系数为,第六项的系数为,解:,第四项系数为280,解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第7项，常数项,常数项即 项.,例4(1)：试判断在 的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.,解： 的展开式的通项公式为：,点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.,有理项即整数次幂项,(2)：由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？,练习：,1、求 的展开式常
10、数项,解:,2、求 的展开式的中间项,解:,展开式共有10项,中间两项是第5、6项,单三步,思考、1、化简：,二项式定理的逆用,2、若 则 p 被4除所得余数为( ),A,二项式系数的性质：增减性与最大值,1)先增后减.,2)n是偶数时，中间的一项（第 项）的二项式系数 取得最大值；,当n是奇数时，中间的两项（第 项）的二项式系数 和 相等，且同时取得最大值.,问题:,(1)今天是星期五，那么7天后,(4)如果是 天后的这一天呢？,的这一天是星期几呢?,(2)如果是15天后的这一天呢？,（星期六）,（星期五）,(3)如果是24天后的这一天呢？,（星期一）,问题探究:,余数是1，,所以是星期六,例1、今天是星期五，那么 天后,的这一天是星期几？,探究：,例2、若将 除以9，则得到的余数是多少？,所以余数是1.,拓展延伸,1.如果 是11的倍数，则( )A、n为任意整数 B、n为偶数C、n为奇数 D、n为11的倍数,5、已知圆上有12个不同的点，过每两个点作一条直线，那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（ ）,B,基础练习,
