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1、小结与复习,第一章 三角形的证明,小结与复习第一章 三角形的证明,(4)_、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.,顶角平分线,(3)两个_相等，简称“等边对等角”;,底角,(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;,一、等腰三角形的性质及判定,1.性质,(1)两腰相等;,要点梳理,(4)_、底边上的中线和底边上的高互相重,2.判定,(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;,(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“_”）.,等角对等边,2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个,二、等边三角形的性质及判定,1.
2、性质,等边三角形的三边都相等;,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于_;,是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;,任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.,60,二、等边三角形的性质及判定1.性质等边三角形的三边都相等;,2.判定,三条边都相等的三角形是等边三角形.,三个角都相等的三角形是等边三角形.,有一个角是60的_是等边三角形.,等腰三角形,(5)在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.,2.判定三条边都相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的,直角三角形的性质定理1,直角三角形的两个锐角_.,互余,直角三角形的判定定理1,有两个角_的
3、三角形是直角三角形.,互余,三、直角三角形,直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_.互,勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c2a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且ab)，那么，当第三边c是斜边时，c_；当a是斜边时，第三边c_.,四、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .,平方,注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边,a2b2c2,勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c,五、勾股定理的逆定理 如果三
4、角形的三边长a、b、c有关系：a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形利用此定理判定直角三角形的一般步骤：,(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理,平方和,直角,直角,垂直,注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2b2c2之类的错误,c2,五、勾股定理的逆定理(1)确定最大边；平方和直角直角垂直,1互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一
5、个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题2逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题,结论,条件,结论,条件,六、逆命题和互逆命题,1互逆命题结论条件结论条件六、逆命题和互逆命题,3逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理,逆,3逆定理逆,1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.,2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.,
6、七、线段的垂直平分线,3常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线,垂线,平分,4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.,1.线段垂直平分线的性质定理：2.逆定理：七、线段的垂直平分,1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.,八、角平分线的性质与判定,1.性质定理：八、角平分线的性质与判定,例1 如图所示，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证： B
7、AC = 2DBC.,【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.,考点讲练,考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定 例1 如,证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示， 则,AB=AC, AEBC., 2+ ACB=90 .,BDAC, DBC+ ACB=90 ., 2= DBC., BAC= 2DBC.,ABCD)12E 证明：作BAC的平分线AE,交BC于,等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是证明线段之间的
8、倍份关系的重要手段.,等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段,1. 如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC， _= _;_=_.(2) AD是中线，_; _= _.(3) AD是角平分线，_ _;_=_.,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,1. 如图，在ABC中，AB=AC时，BACDBADCAD,例2 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长,解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定理，得又SABC bBD ac，,例2 在ABC中，已知BD是高，B90，A、,在
9、直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰,2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25,D,在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理,例3 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形,解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21， c2(n21)2 n42n21， 从而a2b2c2， 故可以判定ABC是直
10、角三角形,例3 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b,运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形,运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的,3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_,(2)(4),3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，,例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB
11、两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上,解：(1)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题,例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的,4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.,解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.,针对训练4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：解：,解： AD 是BC 的垂直平分线，
12、 AB =AC，BD=CD. 点C 在AE 的垂直平分线上， AC =CE,AB=AC=CE, AB+BD=DE.,例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,解： AD 是BC 的垂直平分线， 例5 如图，A,5.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，ABD的周长等于13厘米，则ABC的周长是 .,A,B,D,E,C,18厘米,常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结
13、合起来考查.,5.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米,6.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）., ,6.下列说法： ,例6 如图，在ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DEAB, DFAC.垂足分别为E , F.求证：EB=FC.,【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明RtBDE RtCDF.,例6 如图，在ABC中，AD是角平分线，
14、且BD = CD,证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,ABCDEF证明： AD是BAC的角平分线， DE=,8.ABC中, C=90, AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .,3,E,7. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .,60,BF,8.ABC中, C=90, AD平分CAB,且BC=,9. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交
15、BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BAC,P,9. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PF,例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.,【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.,解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y
16、+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,但4+4=812,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为,分类讨论思想,考点七 本章的数学思想与解题方法例7 等腰三角形的周长,10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.,解：若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.,10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：若腰,例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长,【分析】 欲求的线段CD
17、在RtACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解,方程思想,例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，,解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形 在RtACD中，AC2CD2AD2， 设CDx cm，则ADBD(8x)cm， 代入式，得62x2(8x)2， 化简，得366416x， 所以x 1.75， 即CD的长为1.75 cm.,解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形,勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解,11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12， BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A 处，则AE的长为 .,方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求,课堂小结,三角形的证明,等腰三角形,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,等边三角形的性质,等边三角形的判定,直角三角形,直角三角形的性质,两个直角三角形全等的判定（HL）,直角三角形的判定,等边三角形,勾股定理的逆定理,垂直平分线的性质,角平分线的性质,课堂小结三角形的证明等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判,课后作业,见学练优本章热点专练,课后作业见学练优本章热点专练,
