[1]质量分别为.docx

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1、 1质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为：= (1) r (2)试求总动量及总角动量在, 表象中的算符表示。1. 解 （a）合动量算符。根据假设可以解出，令：（）（）设各个矢量的分量是，,和。为了计算动量的变换式先求对，等的偏导数： （5） （6）关于， 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： =(b)总角动量 =利用（3），（4），（5），（6）： = =因而 2证明 ， （证明）第一式 = 但 += +即 =同样写出关于y,z的式子，相加得： +=因是任意函数，因而第一式得证。第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数，要注意 标量算符而

2、 是矢量算符： = 因此在出写出关于y,z的式子后有 3中心力场中的经典粒子的哈密顿量是 其中。当过渡到量子力学时，要换为 问是否厄米算符？是否厄米算符。（解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式 （）=若,则 因为,等自身是厄米的,因而有 要看出,的关系将作用于任意函数： = = =即 ，因而不是厄米算符。因为利用以上结果，或者直接对取厄米共轭式，都证明因此可认为是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(

3、1973) = = CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961) 4经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？ （解） = + + = + + = 206物83309蒋 最后一式加上下述这个等于零的式子：得：因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。 5求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。（解）本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作： （1）但是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式，此式是： (2)为使计算简单，可选择z轴与动量的

4、瞬时方向重合，这样 207将（2）中的用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，r： = = = = = （3）其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系： 208 物83 309蒋 = = = (4)在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系，设动量相空间直角坐标为，则球面极座标用表示， = （5） 209 = (6)与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得： = = 代入（6）得： =代入测不准关系式： 6在动量表象中写

5、出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。（解）（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能为此先写下座标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）： 遍乘，并对座标积分： （1）等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程： （2）得： （3）式中 （4） （二）核的计算： 先作（4）式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的 211 相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是： （5） （6） 将拉普拉斯算符 作用于两边，得： （7）根据（7）式写出它的逆变换式，并且与（5）式对比，有： = （8）将（4）（5）二式比较知道只需在中作置

6、换，再乘 （9）因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。 = （10） （三）动量表象中，角动量分量守恒的证明。有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表示，用前者较为简单，要证明角动量分量（例如）是守恒量，其必要条件是它可以和哈密顿算符对易，即： （11）这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜的置换来得到这种置换是： 因而得到 （12）至于，的动量表象依类似方法。（10）式中的哈氏算符可从（10）看出： （13）右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将填入括号（ ）。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的波函数上面： (14

7、) 假使能证明I=0，则因为任意，我们便证明了（11），将（13）代入（14） = （15）分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的： = = 214 物83309蒋= + (16)这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。 其次计算（15）式中与势能有关部分的对易式，即（15）式第二个大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始变形： = =215 (17)前一式的第一二个积分分别为对分动量和进行积分后，分别代入积分限，如果是个三维的平方可积函数，即当时，则在代入分限后被积函数也趋于零，只剩下三个积分： = = = = 216 物83309蒋 = = (18)

8、(18)式最前一式和最一式的关系相当于（15）式第二部分为零。 因为是任意函数，因而说明是守恒量。同理可以证明，在动量表象的有心力问题中也是守恒的。 7设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（EV=T0 的几率。 （解）在经典力学中，当总能量一定时，轨道半径受到限制，设玻耳半径a，则总能量粒子的势能则随着到核的距离r而变，表示作，动能是一者的差数：（从理论上讲，距离r可以扩展到无限远处。） (1)使T(r)0,r2a,在量子力学中，电子可以在离核任何距离r处出现，它在经典力学中不允许范围中出现的几率是： = = = = = = 8证明，对于库仑场，（是总能量） （证明）对于库仑场中的束缚

9、电子，在基态以外的情形的计算比较专门。（参看Landau-Lifsshitz QuantumMechauics 1958Appendicos&f) 它的公式是： （Z原子序，a波尔半径，n主量子数）。先计算（n,T.m）在任意的势能平均值。 = = 又因为类氢原子的能级是： 因而 总能量E，动能T，势能V的关系是： E=T+V取平均值 （9）对于氢原子的，计算 （解）第一法：本题公式是由氢原子的正交归一化波函数 来计算的平均值的公式 简化而成，但假定 219。已归一化。Kramers导得有关，三者的递推式如下： （1）它的证明根据有关r的微分方程式从略，在运用此式时，可先令=1代入（1）式得：

10、 （2）式中是与电子势能平均值成正比的仅相差系数e2根据维里定理，在库仑场情形 和能量世关系式：En= (3)又径波函数归一化条件相当于的情形，因而 （4）（3）和（4）代入（2），得：将=2代入（1）： （5）将和=1代（5）得： （6）的表示式不能由（1）求得，用直接积分可有： （C.f.A.Messiah:Quantum Mechanics Vol I.p.431.Ex.1.）第二法：利用Laguerre函数，氢原子的径向波函数可表示为： 但 （7）？（）是自变量的缔合（或名连带）Laguerre函数，它的定义是：波函数（7）中的（）满足以下微分方程式。（课本6.3式17，217）题给的

11、的公式，可以通过式（7）转变为的积分如下：但 E.schrodinger导得了一个和前式相似的积分求值式，使用它可以解决所需的平均值。此式是：8的取值应使各阶乘数是正的，在此式中令 （9）从此式看出，8的取值应满足：8例如当=1时，可取决8=三个值所相当的三项，当=1时，取8=的一项，详细的计算从略。 C.f.Mott.Sneddon:Wave Mechanics and its Applica tions.p.380-381。#10根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+e-的束缚态）的能级。（2）介原子的能谱。（3）介子素（指+-e-束缚态）的能谱。解（1） 电子偶素（氩posi

12、tronium）指低温时超导现象中的导电媒介，即正负电子对，按类氢原子理论，氢的能级是由折合质量计算的，在正常氢原子情形，设质子质量m，则折合质量但 在电子偶素情形，可用正电子代替氢核的质子，折合质量= （2） 介原于是被氢核荐的-介子构成的原子，这种原子的折合质量是 （3） 介子素是正电介子与电子结合成的体系（+e-束缚态），折合质量： 基特尔等著：力学（伯克利物理学教程第一卷）中译本，第九章，.396397.科学出版社（1979）#（11）在Y11态下，求x=？ 怎样解释？（答）当体系处在用Y11（,）所表示的状态下时，对角动量进行测量时，所计算得到的平均值即。前在第四章习题（16）中证明

13、过：在的本征态下=0下面给出一个直接用波函数来计算的解释：我们知道（4.3.P.128）球谐函数是的共同本征态，因而也是共同本征态，在此态中没有确定值，因为=1，所以m取1，0，-1三种值，测时，各以一定几率而得到三种值。不是的本征态，但是依叠加原理，这种态可以认为是的本征态的线性叠加式。和一样当=1时，有三种不同的本征态，它们是（）的共同本征态，可以用球谐函数表示为示为：， 是用？轴代替？轴时，所对应的极角和方位角。参看附图。使用（？）座标系时，的本征态用，表示，它们的函数形式可用缔合勒让德函数表示 （1） （2） （3）现在若改用（x1,y1,z1）参考系，座标之间就有了轮换的变化因此用后

14、一座标系时（）表象中不是本征矢，而是的叠加式；设 在 即 （4）后二式比较系数，得 （5）即 最后得到所述态：因此在Y11态（习惯上 指共同本征矢）中，测量得到实测值在Y11态中平均值又几率分布也可用矩阵法求解，见下题。因此，可以有两种求法。（12）在（）表象中，的子空间是几维？求在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出本征值及征矢。（解）采用角动量表象时，态用希尔柏特空间的多维矢量表示，按一般定义，角动量表象的希氏空间的基矢空间的基矢代不无得并的本征态，无简并的本征态用座标表象时为波函数后一表示法用狄拉克符号，矩阵元的计算利用角动量理论的方法，令 ，反变换 能证明人 ， 有以下运算法则：

15、（2） （3）根据前述的反变换式，只需将前两个运算式相加、相减，并除以2，便得到和运算法则： （4）利用这二公式，以及（）空间的基矢的正交归一关系： （6）可求得算符的33矩阵如下，其中,指示m的排列凡自左向右，自上到下都是按照递减的顺序。 （7）根据（7）可以建立的本征方程式，设本征值是: 即： （8）方程组（8）有非凡解（c1=c2=ca=0是平凡解，无意义）的条件是（8）的系数行列为零：（9）解方程式，得本征值。将每一个值代入（8）可得一组关系式，但这三个齐次方方程式不足解出c1,c2,ca,尚需加入归一化条件：（10）得到三组本征矢 （11） （12） （13）从（11）-（13）得#

16、（13）证明能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。（证明）题给的关系式是“球谐函数加法定理”，设想原来有一叁考系（xyz），以原点为中心的单位球面上有二点： 考察下述谐函数积的总和工：（1）能够证明，若将参考系施行一次旋转后，对新座标来说该总和仍是不变的。按么正变换理论，若座标系x,y,z被旋转成为，原来的一个函数就被变成（2）当座标系进行变换时，总和工被变换成的结果，可用（3）代入（1）得到（4）因为旋转B是一种么正变换，它应满足，因而（5）结果有：（6）即I对旋转是守恒的。现在我们这样来选择这种旋转，使转后的座标系里，P1点在Z1轴上，P2点则在X1 0 z1 座标面上，根据公式（

17、课本）再利用得 于是有：（7） （8）依据以上结论，假写我们要计算有心力场中电子在核周围形成的电荷密度分布，就可以按几率密度一样计算(6.3,P.222几率密度随角度的变化一段)径向电荷密度(14)证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l0的能级的条件是：V0与a应满足 （解）是有限深势阱问题，令此处有图？/则在球势阱内（）（1） 的解需满足r=0处有限，它的特介是（3）（2） （4）要使波函数及其一阶导数在r=a这个势能突点上连续，应有 V0 为了运算的方便（主要利用球贝塞耳函数j，和球韩格耳函数h1的一阶导数公式）（6），（5）两边相除，并加上相同的 此式等效于： （7）从课本附

18、录六的公式得 （7）式成为 （8）按照题意，若势阱的深度V0，宽度（并径a）的大小恰足以产生一个束缚能级，那就表示势阱深V0正好和能级E相等，而E则依赖于a，所以：E= V0的条件使波数 从（8）看来，等式右方因含有因数k1而等于零，一般因而等式左方为零 解此方程得到所需的E（15）采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。（解）本题是有精确解的二维问题，和图示的极座标定态的？方程式是：（1）用分离变量代换 （2）方程（1）可分离为不同自变量的二部分：令 （3）前式相当于两个方程式：前式中常量m2是正数，否则将不符波函数要求：（5）的解是 为符合单值要求

19、 现再处理主程式（4），作常数替代 （4）式变成（6）（6）有r=0，r=的奇点，试求其奇点的近似解，在r=0附近方程式近似为这个方程容许R=r2形式的解，代入后得在无限远入（6）的近似形式因此可以合理地假设（6）的解是：（7）将（7）代入（6）经过一番整理后，得到(8)作自变量交换=a2r2代入（8）式，其中 代入（8）式，经过简化后得到：（9）此方程式中的代表磁量子数的绝对值，（9）式与合流超几何方程式完全一致，后者一般形式是：（10）（9）中的a1本应照习惯写法，写作a，为了避免与（8）式中的a混淆，改为加撇，（10）的解是：（11）因而 （12）完整的径向波函数是（13）由于合流超几何

20、级数收敛性质和相似，故其无穷级数形式不适于作为波函数的解，欲使其能作为波函数的一个因式，这个级数要中断，设最高幂p,由（11）可知+p=0 即因 用磁量子数m表示E：得到所需能级： （15）n是能量量子数，当n给定时，与该能量相对应的不同态的数目（简并度）可依n奇数或偶数分别讨论，列表如下：n奇数 n偶数P取值0，1，2，0，1，2，取值n,n-2,n-4,1n,n-2,n-4,0简并度n+1n+1因为时，每一种的值都对应二种态m和-m，因此当n为奇数时，m的取值（即能量相同的不同态）是 种，当n为偶数时的态又有种，因此m的不同取值也是有1+2=n+1 种，总的说来，简并度是n+1.#16设粒

21、子在无限长的园简内运动，简半径是a，求粒子的能量。解 用柱面极座标其意义见附图，设波函数是则薛氏方程式是： （1） （2）第一次分离变量试用 （2）代入（1），当ra时，经变形后可得： （3）此式明显可以分离变量，设与z方向运动有关的能量是，与座标r，有关的能量（横向）是，并令，（3）式成为： （4） （5）令，则（4）写作 （6）（6）的解是前进的德布罗意波 （7）将（5）再一次分离变量，令 代入（5），遍乘得： （8）此式能分离变量，令： （常量）可得： （9） （10）（9）的解同于有心力场 （11）考虑的单值性条件，而m必须是整数方和式（10）是非标准型的贝塞耳（Besel）方程式，若

22、作自变量的变换则在代入（10）式，消去共有的后得标准型贝塞耳（Besel）方程式 （13）m（整）是方程所含的一个参数。方程式的特解就是m 阶的贝塞耳函数 (14)园简中粒子的波函数完整表示式是： (15) 求粒子的能量：粒子的能量来自二种运动，沿z方向的纵向运动是自由运动，其能量，从波函数（7）看来具有连续值，粒子的横向运动的能量，即与座标，有关的能量可以用边界条件决定，按题意粒子局限于范围内，因而即能值应满足： (16)按阶数绘得的以自变量为横轴的贝塞而函数的曲线是波动曲线，它与r轴有一系列交点（）用图解法求得这些点，即超越方程的诸根，可得量子化能级：总能量则仍是连续取值的：#对于一维方势

23、阱（半宽度为，深度为），无论取什么值总有一个束缚态，对于半径，深度的球方势阱，只有当时，才有一个束缚态，对于二维情况有无类似结论？解释物理意义。（答）二维有限深势阱 场范围和势能随矢径的变化如图所示。 (1)用平面极座标（r,）表示粒子位置，其薛氏方程式同习题15；运用（1）得： （2） （3）令 （4）并假设将（2）（3）分离变量，为此设（2）（3）二式中的相同 （5）径向波函数随区域而不同（）: (6)（）: (7)(6)式中作自变量替代，（7）式中作变换，可得：（）: (8)（）: (9)两个都能表示成已知函数（）: （10）（）: （11）这里是贝塞耳函数，是m阶的韩克尔函数，它的定义

24、是：而 是m阶诺伊曼(Neumann)函数，（11）式的叫“第一类m阶”，虚宗量韩克尔函数。 为使径向波函数在势阱边缘上连续，同时要求一阶径向导数也连续，其条件和习题（14）类似，有： （12）即 （13）若势阱深度和半径足以存在一个束缚态，则 因而（13）右方为零 （14）这就是存在一个束缚态的条件，由此可见最小值应是1，（14）的条件即 查数学手册或数学物理方法课本知道：的根，8.8537最小一个为=2.4048故条件为18粒子在半径为，高为的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。（解）本题与16题有一部分类似，粒子位置用柱面极座标表示，薛氏方程式：

25、（1） 0 第一次用代入（1）分离变量；变形后有：令，其中纵向运动（沿）能量，是沿横向运动的能量，（2）分写成或 （3）或 （4）式中： （5）因粒子沿方向是束缚运动，故可以设定（3）的解为： （6）代入，又，得将此二式相加得 相减得，得到两种可能的特解 （7）又 得 代入（5）得能量量子化条件 （8）再将（4）式分离变量，令代入（4）得：（9）的解是 （但） （11）用自变量替代于（10），得贝塞耳方程式： （12）代边界条件于（12）的解得 （13）和15题一样，超越方程式（13）可以有一系列分列的根相应的能量 （14）结合纵向运动的分立能级（8），得；粒子的量子化能级是： （15）19设

26、求基态（）的波函数。（解）将势能代入有心力场的径向薛定谔方程式： （1）对于基态（1）简化为 （2）先按一般有心力场那样，作因变量变换 （3）得 （4）这个方程式可能变换成贝塞耳方程式，为此，先作自变量变换： （5）则有 代入（4）中，先设 （4）式成为或 （6）再作自变量变换：，代入（6）后，得： （7）这是一般的贝塞耳方程式，它的参数是（虚数），它的解写作或 （8）贝塞耳函数的阶数 如果能量是负的即则是实数，又如果不是整数，虽然（7）容许解但在原点时可能发散，因而（8）则能够证明当时是收敛的。时有限，即要求当和为给定时，从前式可求得的值，如设此值为，则相应的基态能量是：相应的基态波函数是：#（20）设，求粒子的能量本征值。（解）本题的势场和库仑场问题求解。 首先，有心力场的径向波函数应满足径向薛定谔方程式： （1）将势场代入： （2）作代替代入（2）另一方面根据课本6.3库仑场的以为因变量的波方程式是下述形式，式中角量子数写作以便和（3）区别： （4）这样（3）和（4）数学形式完全一致，二者之间的差异在于常数系数方面，由于（4）的解是已知的，因此（3）的解就可直接依类此写出。 比较（3）和（4），得系数的对应关系：从（6）中的，得 （7）