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1、指数分布3. 指数分布 用以下指数函数 表示的概率密度函数称为指数分布。其中的称为指数分布函数的参数，常记为Exp()。其概率密度函数的图形如图1.2-27所示。事件 X在区间 (a, b)上取值的概率为图1.2-27上阴影的面积，它的计算公式为: 指数分布的参数Exp()的均值、方差与标准差分别为: 例1.2-17 某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从参数=0.002的指数分布，它的概率密度函数与分布函数分别为： 则该种热水器在300到500小时内需要维修的概率为： 该种热水器首次发生故障的时间的均值与方差分别为: 现将上述常用分布总结在表1.2-1常用分布表中心极限定理五、中心
2、极限定理 中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值 (仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。(一) 随机变量的独立性两个随机变量X1与X2相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为X1与X2，则X1与X2是相互独立的随机变量。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。以下要用到一个假定:几是n个相互独立且服从相同分布的随机变量。这个假定有两个含义:(1) 是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它们的质量特性用表示，那么可认为是n个相互
3、独立的随机变量。(2) 有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态分布，且都有相同均值和相同方差。又如，若都为指数分布，那么其中的参数也都相同。今后，把n个相互独立且服从相同分布的随机变量的均值称为样本均值，并记为，即: (二)正态样本均值的分布 定理1 设是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为正态分布，则样本均值仍为正态分布，其均值不变仍为，方差。这个定理表明:在定理1的条件下，正态样本均值服从正态分布。例1.2-18 设是相互独立同分布的随机变量，共同分布为正态分布N(10，52)，则其样本均值: 服从。这表明: 的均值仍为10，方差为25/9=2.78，的标准差为
4、：非正态样本均值的分布(三)非正态样本均值的分布定理2(中心极限定理) 设为n个相互独立同分布的随机变量，其共同分布不为正态或未知，但其均值和方差都存在，则在n相当大时，样本均值近似服从正态分布。 这个定理表明:无论共同的分布是什么 (离散分布或连续分布，正态分布或非正态分布),只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，的分布总近似于正态分布，这一结论是深刻的，也是重要的，这说明平均值运算常可从非正态分布获得正态分布。例1.2-19 图1.2-28中我们选了三个不同的共同分布: 均匀分布(无峰) 双单分布 指数分布(高度偏斜)假如，n=2，那么在的场合，2个均匀分布的变量之均值的分布呈三角形，在
5、的场合，的分布出现中间高，在的场合的分布的峰开始偏离原点。在n=5时，三种场合都呈现单峰状，并且前两个还有很好的对称性。在n=30时，三种场合下的分布几乎完全相同，只在位置上有些差别，这个差别是由原始共同分布的均值不同而引起的，另外，这时正态分布的峰都很高，那是因为平均后的标准差为：图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。 在统计中一个统计量的标准差，称为标准误差，或简称为标准误。特别地，样本均值的标准误，无论是正态样本均值或非正态样本均值都有或近似有:它随着n的增加而减少。图1.2-29表明这种关系，注意到在n10时，下降渐趋缓慢。 例1.2-20 我们常常对一个零件的质量特性只测一次读数，并用这个读数去估计过程输出的质量特性，一个很容易减少测量系统误差的方法是:对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，并用其均值去估计过程输出的质量特性，这就可以减少标准差，从而测量系统的精度就自动增加。当然这不是回避使用更精密量具的理由，而是提高现有量具精度的简易方法，多次测量的平均值要比单次测量值更具有稳定性。
