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1、2. 变力的功,元位移：,元功：,一、功 功率 1. 恒力的功,4.1 功,功：,此式的意义是合力的功等于各分力功之和。,方法一、,方法二、,方法三、,功的几何意义：,功在数值上等于示功图曲线下的面积。,3. 功率,平均功率:,瞬时功率:,示功图,例 设作用在质量为2kg的质点上的力是 N。当质点从原点移动到位矢为 m处时，此力所作的功有多大？它与路径有无关系？,解：,例、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少功？,解：,两边积分：, 例 有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。当由0增大到0时，求: 此力的功。,解：,例：
2、光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v 做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。,解：小物体对环带压力,走一段小位移 D s 所做的功,转一周,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在 光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从 顶端有摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度 v ，求：摩擦力所做的功。,解：,对在任意位置的小球作受力分析,动能定理和动量原理比较：,力的空间累积效应,力的时间累积效应,4.2 动能定理,一、质点动能定理,令,质点受合外力的功等于质点动能的增量质点动能定理,例 以铁锤将一
3、铁钉击人木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击人木板内1cm，问击第二次时能击人多深。假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。,铁锤前后两次与钉接触前速度为v0,铁锤与钉子碰撞时动量守恒，得：,设第一次击入深度为s1 ，由动能原理：,设第二次击入深度从s1,到s2 ，由动能定理：,二、质点系动能定理,质点系内力和外力的功等于质点系动能的增量质点系动能定理,4.3 势能,系统内力总是成对出现,一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。,一、一对力的功,二、保守力,有心力为例,所做的功与路径无关，这种力称为保守力。,保守力沿任意
4、闭合路径所做的功为零。,万有引力、静电力、弹性力,与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。,三、势能,在保守力场（在任意点受保守力的作用），质点从A-B，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A -B保守力所做的功，该函数就是势能函数。,保守力的功等于系统势能增量的负值,选参考点（势能零点），设,此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关。,1. 重力的功、重力势能,4.4 重力势能、万有引力势能、弹性力势能,重力的功：,重力势能：,2. 万有引力的功、万有引力势能,讨论：1. 势能为系统所有。2. 对于非保
5、守力不能引入势能的概念。3. 势能是系统内各物体位置坐标的单值函数。4. 引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功的计算。5. A 点的势能在数值上等于将物体从该点移到无穷远处保守力所作的功。,若取无穷远处为引力势能的零点，则 A点的势能为：,例： 6500万年小行星撞地球。设小行星半径为10km,密度为6.010 kg/m ，它撞入地球将释放多少引力势能？这能量是唐山地震估计能量的多少倍？,3,3,解：小行星。设小行星撞入地球将释放的引力势能为：,3、弹性力的功和弹性势能,弹性力的功：,自然长度 xB=0，弹性势能为零,设弹簧原长为r0,弹性势能：,4.5 由势能求保守力,例：,质点系由状态
6、A状态B, 有质点系的动能定理：,将动能定理推广到质点系 :,1、系统的功能原理：,4.6 功能原理、机械能守恒定律,系统的功能原理：,为系统机械能,由系统的功能原理：,若：,则：,这就是机械能守恒定律。,2、机械能守恒定律, 例 设地球半径为R，一质量为m的物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。,解：,由机械能守恒定律：,例 一地下蓄水池，面积为50m2贮水深度为1.5m。假定水平面低于地面的高度是5.0m。问要将这池水全部吸到地面，需作多少功？若抽水机的效率为80，输入功率为35kw，则需多少时间可以抽完？,已知：,例：链条总长为 L，质量为 m，初始时刻如
7、图悬挂，链条与桌面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求： （1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？ （2）、这时候链条的速度？,解：,当链条在桌面上的长度为x时，摩擦力,（1）、,（2）、,由功能原理,例*：一颗星体在外力作用下不断塌缩，当它的半径小于某一值 R0时，我们就再也测不到该星体了，即星体上的任何粒子均不能逃离该星体，这样一个引力极大的区域就称为黑洞，试估算 R0与黑洞质量 M的关系。,解：,光子,光子在星体表面,光子不能逃离星体表面,例：在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半圆屏障，质量为m的滑块以初速度 V0沿切线方向进入屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为，试 证明当滑块从另一
8、端滑出时，摩擦力作的功为,解,由式（1）代入上式得：,俯视图,自然长度,弹簧,x,0,L,例：质量为m,屈强系数为k的弹簧振子，开始被压缩L后放开，设摩擦力大小为 F 恒定不变，求L满足的条件，使小球放开后就运动，一旦停止就保持静止。,解：,弹簧运动到x处,由功能原理,而,例：如图，m1和m2之间只有万有引力的作用，开始时两质点的距离为l，它们都静止，试求当它们的距离变为l /2时，两质点的速度各为多少？,t=0,m1,m,l,(静止）,解：系统的机械能守恒，动量守恒，设间距为l/2时，两质点速度各为v1，v2,例. 传送带沿斜面向上运行速度为v = 1m/s，设物料无初速地每秒钟落到传送带下
9、端的质量为M = 50kg/s，并被输送到高度h = 5m处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）,解：,在t 时间内，质量为Mt 的物料落到皮带上，并获得速度v 。,t内系统动能的增量：,重力做功：,电动机对系统做的功：,由动能定理：,例. 一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）,解,设单位长度的质量为,始末两态的中心分别为c和c,机械能守恒：,解得,例. 计算第一，第二宇宙速度,1. 第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周
10、运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,由万有引力定律和牛顿定律：,解方程组，得：,代入上式，得：,2. 第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。,由机械能守恒定律：,解得：,（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,例*：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力,解：,水平方向动量守恒，,机械能守恒，,m相对M作圆周运动，,m在最低点时，木槽加速度为0,M为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律,而,联立求解各式可得,解：,方向向上,解：,绳拉紧时A的速度为,B的速度为,Y方向动量守恒，,对B点角动量守恒，,A对B作圆周运动，,而,垂直于绳,分解上式有,4.7 碰撞,一、完全非弹性碰撞,两物体相碰后以共同速度前进,能量损失：,二、完全弹性正碰撞,两物体对心相碰，碰撞中无机械能损失,解：设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边平方,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时 处于静止状态，另一球速度 v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。,三、完全弹性斜碰,四、非完全弹性正碰撞,两物体对心相碰，碰撞中有机械能损失,完全弹性碰撞,完全非弹性碰撞,碰撞动能亏损,
