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1、,第五章,定积分及其应用,本 章 内 容,第一节 定积分的概念与性质,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的计算,第四节 广义积分,第五节 定积分在几何上的应用,第六节 定积分在物理上的应用,第五章 第一节,定积分的概念与性质,本节主要内容,一、定积分的定义,三、定积分的几何意义,二、可积函数类,四、定积分的性质,引例1,求右图中曲边梯形的面积。,思路：,将曲边梯形分割成,若干个小曲边梯形，,用小矩形的面积近似,小曲边梯形的面积。,a,b,曲边梯形,曲边梯形如图所示，,则曲边梯形面积,曲边梯形面积为,引例2（求变速直线运动的路程）,思路：,上,设某物体作直线运动，已知速度,是时间,间隔,求物
2、体在这段时间内所经过的路程。,的一个连续函数，且,度看作不变，,求出各小段的路程再相加，,便得到路程的近似值，,最后通过对时间,的无限细分过程求得路程的精确值。,把整段时间分割成若干小段，每小段上速,（1）分割,部分路程值,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,（2）取近似,路程的近似值,求曲边梯形的面积,求直线运动的路程,一、 定积分的定义,定义,若干个分点,积分号,被积函数,被积表达式,积分变量,积分区间,积分下限,积分上限,几点说明：,1、两个任意性：积分值与区间的分割方法以及i的选取方法无关；,2、定积分的值只决定于被积函数和积分区,一个结论：,当能够判定定积分存在时，可采用特殊的,
3、间，因而与积分变量的写法无关；,分割方法和对i 的特殊取法，通过定义求积分值,3、定积分的本质,二、可积函数类,定理1,定理2,定理3,=曲边梯形的面积；,=曲边梯形的面积的负值；,三、定积分的几何意义,3、一般情况下,例1,根据定积分的几何意义知， 此定积分是以R为,解：,R,半径的圆面积的四分之一,故,例2,解：,由定积分的几何意义知,+,练习,例 利用定义计算定积分,解,证明,在下面的讨论中，假定定积分都存在，且不,四、定积分的性质,两个补充规定,说明：,证：,性质1,(k为常数)。,考虑积分上下限的大小，有特殊规定除外。,证:,（此性质可以推广到有限多个函数之和的情况）,性质2,说明：
4、不论 的相对位置如何, 上式总成立。,例如: 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证:,性质4,性质5,注意,推论：,证:,补充,解：,令,于是,证:,性质6,证:,注：此性质可用于估计积分值的大致范围。,性质7,的最大值及最小值，则,估值不等式,解：,解：,证：,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质8（积分中值定理）,则在积分区间a,b上至少存在一个点,即,积分中值公式的几何解释：,注意： 定理中函数在a,b区间,上连续的条件不能减弱，,若被积函数不连续，则结,论可能不成立。,解：,由积分中值定理知有,使,定积分的实质：特殊和式的极限。,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值定积分,以直代曲，以不变代变,取近似,3、定积分的几何意义；,4、定积分的性质,来源于极限的性质和连续函数的性质;,利用定积分的性质可以比较定积分的大,小，估计定积分的值等等。,
