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1、5-1 定积分的概念、几何意义、性质,5-4 定积分的换元积分法和分部积分法,5-2 变限积分函数,5-3 牛顿莱布尼兹公式,目 录,5-5 广义积分与瑕积分,第五章 定积分及其应用,5-6 定积分的几何应用,5.1 定积分的概念、几何意义、性质,一、 引入实例,二、 定积分的概念,三、 定积分的几何意义,四、 定积分的几何意义,一、引入实例,1. 曲边梯形的面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,一、引入实例,1. 曲边梯形的面积,解决步骤：,(1)分割,用分点,把区间a,b分成n个小区间,一、引入实例,1. 曲边
2、梯形的面积,(2)近似代替,在第i个小区间上任取一点,用以,为宽，,为高的小,矩形的面积,近似代替,相应小曲边梯形的面积,即,一、引入实例,1. 曲边梯形的面积,(3)求和,(4)取极限,令,则,一、引入实例,?,一、引入实例,解决步骤：,(1)分割,用分点,把时间区间a,b分成n个小区间,第i个小区间的长度记为,一、引入实例,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,二、定积分的概念,设函数 在区间 上有定义，在 中插入个分点，把区间分成 个小区间每个小区间的长度依次为,1、定积分的定义,在每个小区间 上任取一点 ，作函数值 与小区间长度 的乘积 ，并作和式（称为积分和式）记 ，如果当 时，
3、和式的极限 存在，则称这个极限值为函数 在上的定积分（简称积分），记作 ，即,可积,例：用定义计算,定积分,的值与区间,的分法以及点,的取法无关；,定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分,变量用什么字母表示无关，即有,规定,2、定积分的说明,3、定积分的存在定理,三、定积分的几何意义,定积分的值等于曲边梯形面积；,定积分的值等于曲边梯形面积的负值；,三、定积分的几何意义,定积分的值等于各部分面积的代数和,例：利用定积分的几何意义计算,例：求曲线 y=sinx 和 x 轴在区间 0, 上所围成面积。,性质1,性质2,四、定积分的性质,性质3,性质4,性质5,性质6,例：计算定积分,例：计算定积分,例：计算定积分,性质7 ( 积分区间可加性),不论 位置如何，上式均成立,例：不计算定积分的值，比较下列定积分大小,1比较定积分 与 的大小,2比较定积分 的大小,性质9 ( 积分中值定理 ),如果函数,在闭区间,上连续，则在区间,上,存在一点,使得,通常我们称,为函数,在,上的平均值。,
