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1、第四章 定积分4.1.1 定积分的背景面积 和路程问题,我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为此我们需要另寻方法。 接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。,引入,图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？,a,b,曲边梯形定义：,我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲线
2、y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。,（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形；,（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。,对曲边梯形概念的理解：,我们曾经用正多边形逼近圆的方法 (即“以直带曲”的思想) 求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？,将区间0，1平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。 可以想象，区间拆分的越细，近似程度就
3、越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施： （1）分割； （2）近似代替(过剩和不足估计值)； （3）逼近。,问题1 图中阴影部分由抛物线 ，直线 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S 。,将区间0，1平均分成 5 份，如图所示。,图 (1) 中，所有小矩形面积之和 显然大于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的过剩估计值，则有,图 (2) 中，所有小矩形面积之和 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的不足估计值，则有,我们可以用 或 近似表示 S ，但是都存在误差，二者之差为 ，但是无论是用 还是 来表示曲边梯形的面积
4、，误差都不会超过0.2，如图(3)所示。,不足估计值为,二者的差值为 ，此时，无论用 还是 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。,区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。,滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。,概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求面积,所分区间长度 0,估计值所求值,动手做一做,求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积。, 曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求面积, 求曲边梯形面积的步骤：,我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。,小结,
