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1、2.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上 、 及高度 之间的关系。,一、 伯努利方程的推导,如图，取一细流管，经过短暂时间 t ，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d ，,流过两截面的体积分别为,由连续性原理得,在b到一段中运动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：,流体经过t 时间势能变化量：,t 时间内外力对该段流体做功：,由功能原理 ：,即,上式即为伯努利方程的数学表达式。,t,t,二、伯努利方程的意义,（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用,表示单位体积流体流过细流管 外压力所做的功；,表示单位体积流体流过
2、细流管 重力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 后动能的变化量；,（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：,（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。,（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。,（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。,如图所示，且SBSA，以 A、B 两点为参考点，,由,选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得,三、伯努利方程的应用,小孔流速,由伯努利方程：,可知，,因PA= P 0 P B =P 0 所以,即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。,SA,SB,-
3、托里拆利公式,左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。,虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。,虹吸管,水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知 ，所以此例实质为小孔流速问题,如果hAhB0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。,喷雾原理,因SA很小，vA增大使PA小于大气压，容器内流体上升到A处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。,A,C,B,由伯努利方程,从U形管中左右两边液面高度差可知,为 U 形管中液体密度， 为流体密度。,皮托管,由上两式得,较适合于测定气体的流速。,常用如图示形式的皮托管测液体的流速,A,B,A,B,（测量
4、管道中液体体积流量）,如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程,文丘里流量计,由连续性原理,又,管道中的流速,d1d2 =21 S1S2 = 41 且v 1= 1ms-1,例,求,解,.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为21 ，已知粗管内水的流速为1ms-1 ,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。,得 v2 = 4v1 = 4 ms-1,又由,由 S1v1 =S2v2,得,水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。如管1中的流量为900cm3s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，,例,求,解,（1）管2
5、、3、4的流量;,（2）管2、3、4的流速;,（3）管1、4中的压强差.,v1,v2,v3,v4,(1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3s-1,(3) v1 = Q1S1 = 90015 = 60cms-1 由伯努利方程, S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1, Q2 = Q3 = 450cm3s-1,(2) v2 = v3 = Q2S2 = 45015 = 30cms-1,v4 = Q4S4 = 90010 = 90 cms-1,得,水管里的水在压强 P = 4.0105Pa 作用下流入室内，水管的内直径为 2.0 cm ，管内水的流速为4.0ms-1。引入 5.0 m 高
6、处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。,当水龙头关闭时， ，由伯努利方程,即,= 3.5105Pa,例,求,解,浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。,当水龙头完全打开后，,= 2.3105Pa,即,由伯努利方程：,打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。,由连续性方程：,S1v1 =S2v2,例,求,解,a、b、c、d 各处压强及流速。,h1,h2,a,b,c,d,如图所示为一虹吸装置，h1 和h2 及流体密度 已知，,由题意可知，va = 0, pa = pd = p0,选d 点所在平面为参考平面，对a 、d 两点应用伯努力方程，有,解得,因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以,由连续性原理，有：,对于a、b 两点，有,对于a、c 两点，有,得：,，,马格努斯效应,机翼的升力,伯努利人物简介,丹尼尔伯努利（17001782）， 1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获得有关微积分方程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。,伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的流体力学一书影响深远。他同时是气体动力学专家。1782年3月17日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。,
