大学物理实验(二)误差理论讲解ppt课件.ppt

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1、,第一节 测量与误差,一.测量,1.测量的含义,2.测量的分类,1. 测量的含义,1. 测量的含义,测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出被测量是单位的多少倍的过程。,测量的要素：对象，单位，方法，准确度。,倍数 读数+单位数据,2. 测量的分类,按方法分类：,按条件分类：,直接测量,直接测量,直接测量,直接测量,间接测量,间接测量,间接测量,间接测量,等精度测量,等精度测量,等精度测量,等精度测量,非等精度测量,非等精度测量,非等精度测量,非等精度测量,按方法分类,直接测量：指用仪器或量具，直接测得（读出）被测量数值的测量，该物理量称为直接测量量。,间接测量,由若干直接测

2、量的量经过一定函数关系运算后得出的待测量。这种测量称为间接测量，需要通过间接测量求得结果的物理量称为间接测量量。,等精度测量若多次测量都是在相同的条件下进行的，称为等精度测量不等精度测量若多次测量是在测量条件发生变化的条件下进行称为不等精度测量,按条件分类：,二. 误差,1. 绝对误差与相对误差,3误差的分类,4误差的几个基本概念,2误差来源,1. 绝对误差与相对误差,.绝对误差,任何一个物理量在一定条件下都存在着一个客观值，这个客观值称为真值。,真值:,N（误差）=Ni（测量值）N（真值）,1. 绝对误差与相对误差,.绝对误差,测量重力加速度,例：,单摆:,修正值=真值-测量值= 误差,.相

3、对误差,例：,Eg /g本地100% 0.01/9.792100% 0.1%,相对误差是指某一待测物理量的绝对误差与其测量的最佳值之比，它是没有量纲的，通常写成百分比的形式。,.仪器误差:（仪器零点不准、仪器水平或铅直未调整、砝码未校准等） .方法误差: 实验理论近似或方法不完善 .环境误差:实验环境、测量条件不合要求 .人员误差:操作者生理或心理因素,2. 误差来源,电流表外接,电流表内接,1).系统然误差:系统误差的确定性可用特定方法来消除. 2).随机误差(偶然误差)随机性可通过多次测量来减小.,3 误差的分类,1 )系统误差 在一定条件下（指仪器、方法和环境）对同一物理量进行多次测量时

4、，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。,1)系统误差,3. 误差的分类,螺旋测微计测小球直径,例：,电压表测电压,特点：总是使测量结果向一个方向偏离，它有固定的大小，或是按一定规律变化。,.偶然误差,随机性,螺旋测微器测钢丝直径,例：,特点：,四 误差的修正,误差的产生有其必然性和普遍性，误差自始至终存在于一切科学实验中，一切测量结果都存在误差,1 系统误差的修正,系统误差的处理是一个比较复杂的问题，它没有一个简单的公式 ，主要取决于实验者的经验和技巧并根据具体情况来处理。从实验者对系统误差掌握的程度来分，又可分为已定系统误差和未定系统误差两类,（1）已定系统误差,电表、螺

5、旋测微计的零位误差伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。标准值为50毫克的三等砝码，,替代法,= -0.02mm,交换法,待测电阻与标准电阻交换位置,异号法,对实验方法进行改进，在实验时采取一定的措施对系统误差进行补偿和消除 E1=EX-E0, E2 = EX+ E0 EX=E1+E2,（2）未定系统误差,是指符号或绝对值未经确定的系统误差分量，由于不能知道它的确切大小和正负，故无法对其进行修正。 砝码 （2mg）。这种系统误差通常只能定出它的极限范围，,未定系统误差,要估计出分布范围。对于未定系统误差在物理实验中我们一般只考虑仪器测量仪器的（最大）允许误差仪（大致与 B 类不

6、确定度B 相当） 如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等,2) 随机误差（又称偶然误差）,由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称为随机误差。,特点：测量结果的误差大小和符号都不固定，其值时大时小，其符号时正时负，就某一次测量而言没有一定的规律，但在测量次数很大时，随机误差整体上服从正态分布的统计规律。,正态分布函数：,正态分布函数：,标准误差： =,在一定测量条件下对同一量进行多次测量，随机误差的统计分布是唯确定的即有一确定值,随机误差分布的特点：,单峰性,对称性, 有界性,抵偿性,正态分布函数的特点,（1）单峰性。绝对值大的误差出现的可能性（概率）比绝对值

7、小的误差出现的概率小。 （2）对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。 （3）有界性。在一定的条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。 （4）抵偿性。当测量次数很多时，随机误差的算术平均值趋于零,(4)随机误差的处理,1)测量的平均值：,2)标准偏差：,测量列的标准偏差：,平均值的标准偏差：,多次测量可以减小随机误差,系统然误差与偶然误差的关系,偶然误差,随机性,可通过多次测量来减小,系统误差,确定性,可用特定方法来消除,：精密度与正确度的综合 反映,：实验结果与真值的符合 程度,：重复测量数据相互分散 的程度,准确度,准确度,准确度,准确度,准确度,正确度,正确度,

8、正确度,正确度,正确度,精密度,精密度,精密度,精密度,精密度,4. 误差的几个基本概念,系统误差,偶然误差,.,.,.,图(A),图(B),图 (C),精密度高正确度低,精密度低正确度高,准确度高,我们以打靶为例来比较说明精密度、正确度、准确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值，每次测量相当于一次射击。,一 测量的含义，要素，分类 二 绝对误差，相对误差，修正值 三 误差的来源，误差的分类, 精度,本节小结,直接测量偶然误差的估计,第二节,一、用算术平均值表示测量结果,任一次的测量误差：,（近真值）,（偏差）,m次：N1，N2，Ni，Nm,（m ）,二、误差的估计标准偏差,（贝塞

9、尔公式）,多次测量中任意一次测量的标准偏差,算术平均值对真值的标准偏差,高斯分布,用标准米尺测某一物体的长度共10次，其数据如下：,某次测量值的标准偏差S,算术平均值的标准偏差,例:,解：,在 范围内 p=99.7%,真值落在 内的置信度也是68.3%,三、置信概率和置信限,对于不同的置信限，真值被包含的概率P不同。,在 范围内 p=95.4%,只是一个通过数理统计估算的值，表示真值的一定的概率被包含在 范围内，可算出这个概率是68.3%。称之为置信概率或置信度。,是一个误差范围，称为“误差限”或“置信限”,曲线下的总面积大小表示各种大小(包括正负)误差出现的总概率，当然应该是100。 由x=

10、到x之间的曲线下的面积可以计算出来为总面积的68.3，它表示随机误差值落在区间 ，内的概率。,四、坏值的剔除,2.拉依达准则,凡是误差 的数据为坏值，应当删除，平均值N和误差S应剔除坏值后重新计算。,注意：,拉依达准则是建立在 的条件下，当n较少时，3S的判据并不可靠，尤其是 时更是如此。,1.极限误差,3S:极限误差,测量数据在 范围内的概率为99.7%,对某一长度L测量11次，其数据如下：,试用拉依达准则剔除坏值。,解：,当数据为11个时可以用拉依达准则剔除,例：,=20.33 10.72 = 9.613S,本节小结,一.算术平均值 二.标准偏差 三.置信度 四.坏值的剔除,第三节 实验不

11、确定度,由于误差的存在而被测量值不能确定的程度，是被测量真值在某个量值范围内的评定。,一、不确定度的概念：,真值以一定的概率被包含在量值范围 中,不确定度用 表示,误差以一定的概率被包含在量值范围 中,一 测量不确定度的定义,不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度（JJF027-1991测量误差的处理）表征合理地赋予测量之值的分散性与测量结果相关联的参数（JJF1059-测量不确定度评定与表示） 1999年5月1日实行,目前已经获得国际公认的主要原则有以下三点：测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分量可按其数值的评定方法归并成A、B两类； A类不确定度:是指对多次重复测量结

12、果用统计方法计算的标准偏差. B类不确定度是指用其它方法估计的近似相当于标准偏差的值。如果各分量是独立的，测量结果的合成标准不确定度是各分量平方和的正平方根。根据需要可将合成标准不确定度乘以一个包含因子K(取值23),作为展伸的不确定度,使测量结果能以高概率(95%以上)包含真值.,二、不确定度的分类,A类不确定度 ：,B类不确定度 ：,可以通过统计方法来计算(如偶然误差),不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差),B类,B类,三、直接测量不确定度的计算,1)A类不确定度的计算：,贝塞尔法,Ni的不确定度,N的不确定度,由于偶然因素，在同一条件下对同一物理量x进行多次重复测量值x1x2x

13、3.xn 将是分散的，从分散的测量值出发用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的A类评定 （P68.3%）,按误差理论的正态分布,如不存在其他影响，则测量值范围,中包含真值的概率为68.3%。,2)B类不确定度的估计:,测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度。在实际计算时，有的依据计量仪器的说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度，有的则粗略的依据仪器的分度值或经验，从中获得仪器的极限误差，仪（或充许误差或示值误差）,B类评定不确定度为,（P68.3%）教学中一般可视为均匀分布，,.估计方法,A.由仪器的准确度表示,A.由仪器的准确度表示,B.由仪器的准确度级别来计算,电流表

14、（0.5级）,B.由仪器的准确度等级计算,电压表（0.1级）,电流表（0.5级）,B.由仪器的准确度等级计算,电压表（0.1级）,电流表（0.5级）,A.由仪器的准确度表示,B.由仪器的准确度级别来计算,C.未给出仪器误差时,连续可读仪器,非连续可读仪器,.仪器误差 的确定：,最小分度/2,最小分度,米尺：最小分度为1mm,C.未给出仪器误差时,连续可读仪器,读数显微镜：最小分度为0.01mm,数字秒表:最小分度=0.01s,C.未给出仪器误差时,非连续可读仪器,数字秒表:最小分度=0.01s,20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm,C.未给出仪器误差时,非连续可读仪器,A类不确定度分量,B

15、类不确定度分量,3) 合成不确定度,（P68.3%）,4)直接测量结果的不确定度评定,1、评定步骤 （1）尽可能把测量中的各种系统误差减至最小。例如采用适当的测量方法予以抵消，或改变测量条件使之随机化，或确定出修正值进行修正 (2)确定井记录仪器的型号、量程、最小分度值、示值误差限和灵敏阀,(3)当准备好测量时，小心地取3-4个观测值并注意其偏差情况。如果偏差几乎不存在，或与仪器的误差限相比很小那就不必进行多次测量，而以其中任一次测量值表达测量结果，其不确定度只以仪器示值误差限计算。,(4)若发现试测结果偏差较大，可与仪器的误差限相比拟或更大，则要取510次的测量值以平均值表示测量结果，其不确

16、定度应该以A类和B类的合成不确定度表示。,2 、测量结果的规范表达,以电阻测量为例,物理实验以测量为基础完整的测量结果应表示为：包括： 测量对象 测量对象的量值 测量的不确定度 测量值的单位 Y = y u表示被测对象的真值落在（y u，y u）范围内的概率是68.3%， u的取值与一定的概率相联系,用50分度游标卡尺测一圆环的宽度，其数据如下：,由于是多次测量，存在A类不确定度：,任何直接测量都存在B类不确定度：,合成不确定度:,例：,m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;15.268; 15.274;15.272cm .,求合成不确定度。,

17、解：,四、不确定度的传递公式,设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量,1.间接测量的不确定度由传递公式计算,N=X+YZ,N=XY/Z,五、测量结果表达式：,例：,根据公式,测量铜圆柱体的密度。,已知：M=45.0380.004(g), D=1.24200.0004(cm), H=4.1830.003(cm). 试评定 的不确定度 .,解：,1.计算测量值,2.先计算相对不确定度,3.求 的不确定度,4.测量结果表示：,已测得矩形宽、长结果分别是,求周长L=？,解：,例：,测边长 的立方体体积V，要求 ，问用下列哪种游标卡尺最恰当？,(1)10分度,解：,由条件:,则：,得：,例：,(2)2

18、0分度,(3)50分度,又:,故合适的仪器为50分度的游标卡尺（ ）,例 用米尺测量某一物体的长度 l，所得实验数据如下表所示，试求 l 的平均值和测量不确定度，并写出测量结果的表达式(假定测量误差以随机误差为主)。测量次数 1 2 3 4 5 l (cm) 12.25 12.20 12.19 12.16 12.23解：这是直接测量问题，可使用绪论中(0-6)式、(0-7)式和(0-13)式计算。,环体积的对数及其偏导数为：,解：这是间接测量问题。环的体积为：,代入(0-19)式得：,因此，环体积为：,本节小结,一.不确定度的概念 二.不确定度的分类 三.不确定度的计算 四.合成不确定度 五.

19、不确定度的传递,第四节 有效数字及运算法则,一、有效数字的一般概念,例：用米尺测量物体的长度,L1= L2=,3.4 3.4,5 6,5 6,3.4 3.4,定义：在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成了有效数字。 上述例子中的测量结果均为三位有效数字,一、有效数字的一般概念,二、有效数字位数的确定,1.关于“0”的有效问题,.当“0”在数字中间或末尾时有效,如：,、,、,等中的0均有效。,注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”,数学上：,物理上：,例：一个物理量的数值和数字上的一个数有着不同的意义。例如一个在数字上0.2500m=25.00mm .但在物理测量上

20、0.2500m25.000cm。因为0.2500的有效位数是四位，而25.000cm的有效位数是五位。实际上，这两种不同的写法表示了两种不同精度的测量结果。所以在实验中记录数据时，有效数字不能随意增减。,1.关于“0”的有效问题,.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字,如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m,均是3位有效数字。,注意：进行单位换算时，有效数字的位数不变。,2.数值的科学记数法,数据过大或过小时，可以用科学表达式。,某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成 2.00104,又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成3.251

21、0-5m,3.有效数字与仪器的关系,有效数字的位数 测量值本身的大小、仪器的准确度,20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）,螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）,米尺 L=2.52cm （三位有效数字）,三、直接测量有效数字的确定 如何读数,（1）用米尺测长度,例：,读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置,当物体长度在24与25之间时， 读数为24.*,当读数正好为24时读数为24.0,被测物体,三、直接测量有效数字的确定 如何读数,（1）用米尺测长度,例：,（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流,读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置,仪= 100mA

22、0.1% = 0.1mA,指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA,指针正好在82mA上：读为82.0mA,对于0.1级表：,仪=100mA1.0%=1mA,对于1.0级表,指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA,指针正好在82mA上：读为82mA,四、间接测量量有效数字的确定 有效数字的运算法则,1.加减法,2.乘除法,3.乘方与开方,4.函数运算,5.自然数与常量,例 1:,62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7,62.5 + 1.234,63.734,结果为 63.7,例 2:,19.68 - 5.848 = 13.83,19.68 - 5.

23、848,13.832,结果为 13.83,例1：,其中：,试确定N的有效数字。,解：,（1）求出N的不确定度,（2）,（3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定 结果的有效数字,例 3:,1.加减法,加减法运算后的有效数字，取到参与运算各数中 最靠前出现可疑数的那一位。,运算规则：,例 4:,3.21 6.5 = 21,3.21 6.5,1605,结果为 21,1926,20.865,例5:,2121.843=0.96,_,_,_,_,结果为 0.96,_,2.乘除法,乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中有效数字位数最少的为准。,运算规则:,例6：,其中：,试确定N的有效数字。,解：,

24、（2）计算不确定度,（1）先计算N,（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：,结果的有效数字与其底或被开方数的有效数字位数相同。,如：,错误,正确,运算规则：,1002=100102,100=10.0,49 = 7.0,49 = 7,4.02=16,4.02=16.0,3.乘方与开方,(1)对数函数,lgx的尾数与x的位数相同,例 7:,lg 100 = 2.000,lg 1.983 = 0.297322714 0.2973,lg 1983 = 3.29722714 3.2973,4.函数运算,(2)指数函数,10 x或ex的位数和x小数点后的位数相同（包括紧接小数点后面的0）,例 8 :

25、,106.25=1778279.41 1.8106,100.0035=1.00809611.008,首先用传递公式计算 cosx 的不确定度,x=20018 ux=1 0.0003 弧度 求 cos x 的有效数字,（3）三角函数,解：,误差位在小数点后第四位,而cos20o18=0.937889.,根据不确定度: cos20o18=0.9379,例 9:,ucosx= |sinx|ux = sin(20018) 0.0003 = 0.0001,自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。,常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。,如在D=2R中，2

26、不是一位有效数字，而是无穷位,例 10:,L=2R 其中R=2.3510-2m,就应取3.14(或3.142),即L=23.1422.3510-2=0.148(m),5.自然数与常量,综合运算举例,50.00 ( 18.30 16.3 ),( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 ),=,50.00 2.0,100 1.00,=,1.0102,100,= 1.0,例 11:,10.02 lg100.0,27.321127.31,35,=,1002.0000,0.01,2104,35,=,=,2104,35,例 12:,本节小节,一.有效数字的概念,二.直接测量时有效数字的运算,三.有效数字的运算规则,