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1、第二章 流体力学,流体力学,流体质量元,微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；,宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置 、速度 、密度 和压强 等；,流体动力学（用P、V、h 、 等物理量描述）,流体静力学（用P、F浮、 等物理量描述）,流体力学的研究内容,3,2-1. 理想流体2-2. 伯努利方程2-3. 伯肃叶公式和斯托克斯公式2-4. 液体的表面现象,4,2-1. 理想流体,一 流体,液体和气体统称为流体，最鲜明的特征是形状不定，具有流动性。,液体：,气体：,易压缩,不易压缩,二 压强,面积元,两侧流体相互作用的弹性力,方向为面元内法线方向,单位面积上的压力称为压强,在静止
2、流体中任何一点的压强与过该点面元取向无关.,5,三 粘性与粘度,粘性流体流动时，在内部产生的切应力。,流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对滑动，产生内摩擦力。,6,四 理想流体的概念,理想流体没有粘性并且不可压缩的流体。,五 流速场 定常流动,拉格朗日的追踪法,流元、流块,欧拉的速度场法,流场 (流速场),流体力学理论的主流方法。,流速场,定常流动,流速与时间无关,7,流 线,流 管,流线：,流速场中的一系列假想的曲线。在每一瞬时，曲线上每一点的切线方向与该处流体质元的速度方向一致。,流管：,通过流体内闭合曲线上各点的流线所围成的细管。,由于每一
3、点都有唯一确定的流速，因此流线不会相交，流管内外的流体都不会穿越管壁。,六 流线与流管,8,七 连续性方程,体积流量守恒（连续性方程）,流量：,流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量为零。,S1, S2,v1,v2,t,质量流量守恒,对于理想流体（或不可压缩流体）,例 已知一个水龙头流出的水柱，高度相距为h的两处横截面积分别为S1和S2，求水龙头的体积流量。,10,伯努利方程能量守恒定律在流体力学中的表现,2-2. 伯努利方程,丹尼尔第一伯努利瑞士数学家、力学家,11,伯努利方程, 伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现，它是流体动力学的基本规律。, 严格上说伯努利
4、方程是理想流体定常流动在一根流线上的动力学方程。,表明压强、动能体密度、势能体密度三项之和在流线上各点处处相等，保持为一恒量。,注意：,12,伯努利方程的应用,1.流速与压强的关系,由于水平放置，流体的平均高度相同，故,连续性方程的结果,代入上式就得到,简单易记的话：,流速大，压强小；流速小，压强大。,如果,即,则,13,14,2. 出口的流速,水面压强为p2，水槽横截面积为A2，液面处水的流速为v2。水槽底部与一水管相连。,水管横截面积为A1，阀门与水槽水面相距h。,由于,开启阀门时,水塔水面下降缓慢,所以，根据伯努利方程，有,开启阀门时水的流速等于多少呢？,15,如果水塔顶部与大气相连通，
5、开阀后出口处也是一个大气压，,即,那么,这时出口处水流速度与自由落体速度相等。,（测量管道中液体体积流量）,如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程,文丘里流量计,由连续性原理,又,管道中的流速,由伯努利方程,从U形管中左右两边液面高度差可知,为 U 形管中液体密度， 为流体密度。,比多管,由上两式得,较适合于测定气体的流速。,常用如图示形式的比多管测液体的流速,A,B,A,B,18,3.飞机机翼周围的空气是如何流动的,假设在机翼右方的空气是水平方向以速度v1向左运动的，如图。,这一分析与伯努利原理是一致的。机翼上方空气流速较下方流速大，因而机翼上方的压强小，下方的压强大，结果
6、产生一个向上的力，即升力。,由于机翼倾斜，流经机翼的流线向下偏移，如图中的v2。这两个矢量之差v2- v1正是指向机翼对空气的作用力的方向。根据牛顿第三定律，空气对机翼施加大小相等、方向相反的反作用，如图中的F。 这个力的垂直分量正是飞机的升力(lift)。,旋转的球带动空气形成环流，一侧气流加速，另一侧减速，形成压差力，使足球拐弯，称为马格努斯效应。,例 某水手想用木板抵住船舱上一个漏水的洞，但力气不足，木板总是被水冲开。后来在另一个水手的帮助下，将木板紧压住漏水的孔以后，他就可以一个人抵住木板了。试解释其原因。,21,层流与湍流,层流：,流体运动规则，各层流动互不掺混，质点运动轨线是光滑，
7、而且流场稳定。,湍流：,流体运动极不规则，各部分激烈掺混，质点运动轨线杂乱无章，而且流场极不稳定。,2-3. 伯肃叶公式和斯托克斯公式,22,牛顿内摩擦定律,流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对滑动，产生内摩擦力。,粘度系数或粘度,单位：,牛秒/米2，N s/m2或Pa s,23,一 哈根伯肃叶公式,水平管道,定常流动,哈根伯肃叶公式,24,二 粘性阻力斯托克斯公式,当物体速度不大时，粘滞阻力与速度成正比,k取决于粘滞系数和物体几何形状,对于半径为r的小球，如图,小球所受粘滞阻力,斯托克斯公式,一个质量为m带电量为q的油滴处在二块平行板之间，在平
8、行板未加电压时，油滴受重力的作用而加速下降，由于空气阻力f 的作用，下降一段距离后，油滴将匀速运动，速度为Vg，此时f 与mg平衡。由斯托克斯定律知，受力平衡条件为 ：,式中为空气粘滞系数，a为油滴的半径。,然后在平行板上加电压U，油滴处在场强为E 的静电场中，其所受静电场力qE与重力mg方向相反。当qE 大于mg 时，油滴加速上升，由于f 的作用，上升一段距离后，将以Ve的速度匀速上升，于是有,由上式可知，为了测定油滴所带的电荷量q，需要测平行板上所加电压U、两块平行板之间距离d、油滴匀速下降和上升的速度Vg、Ve，以及油的密度p。,根据上述方程可解得,测出右侧诸量即可得到q。密立根发现测得
9、的电量总是某基本值的整数倍。求出最大公约数即获得电子电量。,密立根测得电子电荷为 (1.601 0.002)10-19C,云、雾的形成,同样是小水滴，雨滴降落到地面，而云雾却浮在空中 常温下空气的粘度约为18.210-6Pas，云雾中水滴的大小约为10-6m,可见，小水滴的极限速度极小，可以视为静止的，因此云雾可以浮在空中。,如果水滴较大，空气就无法将其托住，因此以雨的形式落到地面。,29,三 雷诺数,定义：,雷诺数,，流体密度和粘度,v，l由流场特点决定的特征速度和特征长度,雷诺数超过某一临界值时，层流将转变成湍流，即存在一个所谓临界雷诺数Re*。,流动是层流,流动是湍流,流体的相似性原理,
10、（对不可压缩流体）外部条件几何相似时(几何相似的管子，流体流过几何相似的物体等)，若它们的雷诺数相等，则流体流动状态也是几何相似的。,不同雷诺数下流体的流动,卡门涡街,达朗贝尔佯谬,当流体有黏滞性时，流体边缘的固体表面处流体的相对速度总等于零，说明在表面处的流速梯度不为零，这一层称为边界层。 当流速增大，或雷诺数增大时，环绕物体的流线会在某个地方脱离壁面，形成涡旋,如（b）称之为流线剥离。如果流线过早的从壁面剥离，将会对处于流体中的固体产生很大的阻力，对利用流体运动的物体不利，为减小阻力，不仅要减小垂直于流体的横截面积，而且，要将物体设计为流线型。,高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰。,起初，
11、人们认为表面光滑的球飞行阻力小，因此当时用皮革制球。,最早的高尔夫球（皮革已龟裂）,后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远。,这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论后才解开。,光滑的球,表面有凹坑的球,2-4.液体的表面现象,一、液体的微观结构,液体分子间作用力显著。,宏观上表现为不易压缩性。,液体分子在平衡位置附近做振动和在液体内移动。,液体分子在每一个平衡位置上振动的时间。,分子的定居时间：,不同液体，随着温度、压强的不同，定居时间不同。,在液体与气体的分界面处厚度等于分子有效作用半径的那层液体称为液体的表面。,当外力作用时间大于定居时间,表现为液体的流动性,当外力作用时间小于定居时间
12、,表现为固体所特有的弹性形变、脆性断裂等力学现象,二、液体的表面张力现象及微观本质,液体表面像张紧的弹性膜一样，具有收缩的趋势。,（1）毛笔尖入水散开，出水毛聚合；,（2）水黾能够站在水面上；,（3）硬币能够放在水面上；,（4）荷花上的水珠呈球形；,（5）肥皂膜的收缩；,液体表面具有收缩趋势的力，这种存在于液体表面上的张力称为表面张力。,说明：力的作用是均匀分布的，力的方向与液面相切；液面收缩至最小。,表面张力的微观本质是表面层分子之间相互作用力的不对称性引起的。,三、表面张力系数,从力的角度定义,(1),(2),f,f,从做功的角度定义,F 做功为：,S 指的是这一过程中液体表面积的增量，所
13、以：,表示增加单位表面积时，外力所需做的功,称为表面张力系数，表示单位长度直线两旁液面的相互作用拉力，在国际单位制中的单位为 N m -1 。,1、表面张力系数的定义,从表面能的角度定义,由能量守恒定律，外力 F 所做的功完全用于克服表面张力，从而转变为液膜的表面能 E 储存起来，即：,所以：,表示增大液体单位表面积所增加的表面能,2、表面张力系数的基本性质,（1）不同液体的表面张力系数不同，密度小、容易蒸发的液体表面张力系数小。,（2）同一种液体的表面张力系数与温度有关，温度越高，表面张力系数越小。,（3）液体表面张力系数与相邻物质的性质有关。,（4）表面张力系数与液体中的杂质有关。,表面张
14、力系数的测定,拉脱法,拉脱法测量液体表面张力系数的实验仪器焦利秤。,水膜的对金属框的作用力为,当拉起的水膜处于即将破裂的状态时，两个表面近似在竖直平面内，此时用焦利秤对金属框的作用力：,则液体表面的张力系数：,将质量为 m 的待测液体吸入移液管内，然后让其缓慢地流出。,当液滴即将滴下时，表面层将在颈部发生断裂。此时颈部表面层的表面张力均为竖直向上，且合力正好支持重力。,液滴测定法,测得断裂痕的直径为 d ，移液管中液体全部滴尽时的总滴数为 n ，则每一滴液体的重量为：,所受的表面张力为：,则有,即,则大水滴的面积为,例,解,设小水滴数目为 n ，n 个小水滴的总面积为,在融合过程中，小水滴的总
15、体积与大水滴的体积相同，则,表面张力系数,求,所释放出的能量,溶合过程中释放的能量,半径为r =210-3mm的许多小水滴融合成一半径为R=2mm的大水滴时。(假设水滴呈球状，水的表面张力系数 =7310-3Nm-1在此过程中保持不变),表面张力的微观本质是表面层分子之间相互作用力的不对称性引起的。,从能量的角度来解释表面张力存在的原因。,分别以液体表面层分子A 和内部分子B为球心、分子有效作用距离为半径作球（分子作用球）。,对于液体内部分子 B ，分子作用球内液体分子的分布是对称的；,A,B,B,从统计上讲，其受力情况也是对称的，所以沿各个方向运动的可能性相等。,对于液体表面层的分子 A，分
16、子作用球中有一部分在液体表面以外，分子作用球内下部液体分子密度大于上部；,当液体内部分子移动到表面层中时，就要克服上述指向液体内部的分子引力作功，这部分功将转变为分子相互作用的势能。所以液体表面层分子比液体内部分子的相互作用势能大。,由势能最小原则，在没有外力影响下，液体应处于表面积最小的状态。,从力的角度看，就是有表面张力存在。,统计平均效果所受合外力指向液体内部，因此有向液体内部运动的趋势。,A,fL,弯曲液面的附加压强,对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在靠近液面的两侧就形成一压强差，称为附加压强。,其中 为液面内侧的压强， 为液面外侧的压强。,一、弯曲液面的附加压强,表面层中取
17、一小薄层液片分析其受力情况（忽略其所受的重力），,f,f,P1=P0,s,即,水平液面:,可知,分析小薄层液片受力情况，,分析小薄层液片受力情况，,表面张力的合力 的方向与凸面法线方向相反，,即,s,Ps,P2,凹形液面：,Ps,P3,所以,表面张力的合力方向不同，决定了 是 还是,凸形液面：,所以,表面张力的合力 的方向与凹面法线方向相反，,s,=P0+Ps,=P0-Ps,二、球形液面的附加压强,df/,df,df,r,（定量关系）,球形弯曲液面的附加压强与表面张力系数成正比，与液面的曲率半径成反比。,如图， 在凸液面上取一微小球冠,dl,同理可证，对于凹液面,对球冠做受力分析可得,例 已知
18、大气压强为P0，求液泡内气体的压强。,凸球形液面内液体压强为,凹球形液面内液体压强为,球形液膜，两个球形面的半径近似相等,C,A,B,液膜外表面为凸液面，有,液膜内表面为凹液面，有,所以附加压强为,球形液泡内气体的压强为,例 如图所示的装置中，连通管活塞关闭，左右两端吹成一大一小两个气泡。如果打开连通管，气体会怎么运动？,由肥皂泡内外气体压强差,打开连通管后气体将从B 流向 A 。,由于,所以,在水下深度为 30cm 处有一直径d = 0.02mm的空气泡。设水面压强为大气压 P0= 1.013105Pa, 水= 1.0103kgm-3, 水= 7210-3 Nm-1。,气泡内空气的压强。,解
19、,例,求,d,h,P0,=1.186105Pa,与固体接触处液面的性质,一、润湿和不润湿,附着层：,在液体与固体接触面上厚度为液体分子有效作用半径的液体层。,是由附着层分子力引起的,润湿,不润湿,内聚力：,液体内部分子对附着层内液体分子的吸引力,附着力：,固体分子对附着层内液体分子的吸引力,润湿和不润湿决定于液体和固体的性质。,内聚力大于附着力,A,不润湿,内聚力小于附着力,A,润湿,液体对固体的润湿程度由接触角来表示。,接触角：,在液、固体接触时，固体表面经过液体内部与液体表面所夹的角通常用 来表示。,液体润湿固体；,当 时，,当 时，,液体不润湿固体；,当 时，,液体完全润湿固体；,当 时
20、，,液体完全不润湿固体；,润湿,不润湿,毛细现象,将细的管插入液体中，如果液体润湿管壁，液面成凹液面，液体将在管内升高；如果液体不润湿管壁，液面成凸液面，液体将在管内下降。这种现象称为毛细现象。,能够产生毛细现象的细管称为毛细管。,毛细现象产生的原因,毛细现象是由于润湿或不润湿现象和液体表面张力共同作用引起的。,如果液体对固体润湿，则接触角为锐角。,h,如果液体对固体不润湿，则接触角为钝角。,h,朱伦公式,毛细永动机能否制造出来？,由 可知：,液体沿毛细管（液体润湿管壁）“自动地”上升的,如果毛细管的实际高度 h0 比液体上升的高度 h 小，液体能否自动从管子中流出来形成“毛细永动机”？,高度
21、似乎与毛细管的实际高度没有关系。,实际上，毛细永动机是不可能存在的。,P0,A,P0,液体润湿管壁会产生一定的接触角q ，形成凹形液面，,从而产生一定的附加压强，即 A 点的压强为 ，在大气压的作用下，液面会上升；,如果毛细管露出水面的长度足够，液面会上升 。,如果毛细管露出水面的长度 h0 h ，则当液体上升到管口时，液面的曲率半径将增大，从而附加压强减小，PA 增大。,当曲率半径增大到 时， A 点压强增大到 ，液面不再上升。,因此，即使毛细管的实际高度 h0 比液体上升的高度 h 小，也不会形成毛细永动机。,逐渐增大右端的压强，刚开始液滴并不移动，只是右液面的曲率半径减小；只有当压强增量
22、超过一定的限度 时，液滴才开始移动。,气体栓塞现象,P,P,P,P P,P,P +P,P + 2P,如果要使这 n 个液滴移动，则最右端必须施以大于P + nP 的压强。,P + 3P,P + nP,例 把一个两端开口的毛细管中滴入一滴水后将它竖直放置，已知毛细管半径为r ，水柱高度为h 。假定水可以完全润湿毛细管，毛细管的上下液面各是什么形状？,因为水能完全润湿毛细管，因此上液面必然凹向液体。,B,C,A,D,h,根据液柱高度不同，下液面可分为三种情况：,(1)如 ，下液面凹向液体内部,(2)如 ，下液面是平的,(3)如 ，下液面凸向液体外部,饱和蒸气压,液态,气态,汽化（蒸发和沸腾）,液化
23、或凝结,令 n 表示单位时间跑出液体表面的平均分子数，以 n 表示单位时间回到液体中的平均分子数。,一、汽化和凝结产生的条件：,当 n n时，宏观上则表现为蒸发；,当 n n时，宏观上表现为凝结；,当 n = n时，则液气达到动态平衡。,（影响蒸发的因素：表面积；温度；通风情况；液体本身性质。）,在敞口容器中，逃出液面的蒸汽分子会向远处扩散，有 n n，直到液体全部转变为蒸汽时，蒸发过程才停止。,而在密闭容器中，容器内蒸汽的密度不断增大，返回液体的分子数也不断增多，当 n = n 时，液气达到动态平衡，此时的蒸汽叫做饱和蒸汽，由它而产生的压强叫做饱和蒸汽压。,二、饱和蒸汽压,饱和蒸汽压是饱和蒸
24、汽产生的分压强。,在一定温度下，饱和蒸汽的密度具有恒定的值，饱和蒸汽压与体积的大小以及有无其它气体存在无关。,液体本身的性质: 对于内聚力较小（容易挥发）的液体，表面层内的分子受液体内部作用力较小，饱和蒸汽压较大。,三、影响饱和蒸汽压的因素,温度：温度越高，分子无规则热运动越剧烈，表面层的分子越容易摆脱液体的束缚逃出液面，饱和蒸汽压越高。,液面的弯曲情况: 凹液面上方饱和蒸气 压较小，凸液面上方饱和蒸气压较大,h,A,B,平液面和弯曲液面饱和蒸气压的差值为,凸液面上方饱和蒸汽压较大，蒸汽就不易在凸液面上凝结 。,有时蒸汽压强已超过水平液面上饱和蒸汽压的几倍，仍无法形成液滴。这种蒸汽称为过饱和蒸汽，也称为过冷蒸汽。,对于凹液面,对于凸液面,人工降雨,云室和气泡室,第二章总结,理想流体和定常流动的概念连续性原理伯努利方程及其应用流体的粘性，牛顿内摩擦定律伯肃叶公式和斯托克斯公式层流和湍流，雷诺数表面张力弯曲液面的附加压强毛细现象饱和蒸气压,
