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1、大学物理,上册,7. 3 电通量 高斯定理,7-3-1 电场线及其性质,标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是空间位置的函数，如温度场、气压场矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空间位置的函数，如流速场、电场、磁场场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密反映矢量的大小。,7. 3 电通量 高斯定理,a) 切线方向表示电场方向;b) 疏密表示场强大小。,1.规定：,电场线,大小,方向,2. 性质:,(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无电荷处不间断也不相交，称为有源场。(2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场,a
2、) 电场线为假想的线,电场中并不存在；b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。,说明:,电场中假想的曲线,是有源无旋场。,点电荷的电力线,正电荷,负电荷,+,几种常见电场的电场线,+,一对等量异号电荷的电场线,一对等量正点电荷的电场线,+,+,一对异号不等量点电荷的电力线,2q,q,+,带电平行板电容器的电场,+,+,+,+,+,+,+,+,+,7-3-2 电通量,通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。用e表示。,（1）均匀电场（a）S与电场强度方向垂直,（b）S 法线方向与电场强度方向成角,1、均匀电场,S,3、非均匀电场、任意曲面,单位：Vm,4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面
3、外部空间的法线）为正向。,注意：1电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无意义。2电通量是代数量，可正、可负、可以为零。3电通量的叠加原理：多个点电荷对某一曲面的电通量等于它们单独存在时通量的代数和。,通过对电通量的研究导出了高斯定理。,K.F.Gauss德国物理学家、数学家、天文学家,7-3-3 静电场的高斯定理,他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三（或四位，加上欧拉）大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。,高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数
4、学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。,卡尔弗里德里希高斯（Johann Carl Friedrich Gauss），,在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线 电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、 测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。,真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。与闭合面外的电荷无关。,7-3-3 静电场的高斯定理,定理,S： 闭合曲面，称为高斯面,1）. 点电荷q 位于球面S 的球心,2）. 点电荷q 位于任意闭合曲面
5、S内,2.静电场高斯定理的验证,与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。,3） 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。,因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。,4. 闭合曲面内包围多个点电荷,对连续带电体，高斯定理为,结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电场的源头,通量不为0的矢量场称为有源场,表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以正电荷是静电场的源头。,表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。,高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电场，是电磁场理论的基本方程之一。对于均匀、对称 的电场，可用之求电场
6、强度。,高斯定理为求电场强度提供了一条途径.,一、求场强的思路 高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。 几类对称性： 电场分布轴对称 电场分布球对称 电场分布面对称,4.高斯定理的应用,二、高斯定理的解题步骤：,定性分析带电体系激发的电场分布情况选取合适的高斯面：场点必须在高斯面上。高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平行或垂直。根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体分别使用高斯定理，再用
7、场强的叠加原理求解合场强,例题1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。,三、高斯定理的应用举例,1、电荷分布球对称如：均匀带电球面或者球体,：对称性分析：,由于电荷分布球对称，所以电场分布也球对称，可以设想，凡是距离O点为的各点场强的大小都相等。,球对称分布：在任何与均匀带电球壳同心的球面上各点的场强大小都相等，方向沿着半径方向呈辐射状。,解: 对称性分析,作高斯面球面,电通量,电量,用高斯定理求解,1）,R,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,q,2）,相当于电荷集中在球心的点电荷,两个同心带电球壳，半径为R1和R，电量分别为Q1和Q2,填空：,扩展：,距
8、离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的球壳所带电量决定其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量无关分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间讨论,结论,解：,rR,场强,例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R,选择高斯面过待求场点的同心球面,R,rR,电量,高斯定理,场强,电通量,均匀带电球体电场强度分布曲线,均匀带电球面：,典型结论,均匀带电球体：,讨论,虽然高斯积分为曲面积分，但是由于电场分布的特点我们并没有真正计算这个高斯积分，而是通过数学分析直接得到结果。,高斯面若选取不当，我们就不能处理高斯积分，即不可能计算出场强，但是高斯定理仍然成
9、立。,均匀带电球面的面外、球体的球外一点的场强相当于把所有电荷集中在球心的一个点电荷所产生的电场；,均匀带电球面的面内任意点场强处处为零；,二、 轴对称分布：,例7-3-4 ：求：电荷线密度为 的无限长带电直线的场强分布。,无线长的物理含义：指与带电直线的线度L相比非常小，看不到线段的边。,无线长均匀带电细直线无线长圆柱体无线长柱面及其同轴组合,1.分析对称性：,凡是和P点一样，距离为的各点和P点相比，没有任何特殊性，故场强相同的各点在空间构成一个圆柱面。,凡是与轴线距离相等的各点上场强的大小都相等，方向沿着轴的矢径成辐射状。,轴对称的含义：,？,2. 选择高斯面同轴柱面,上下底面,侧面 ，且
10、同一柱面上E 大小相等。,方向：如图所示。,无限长均匀带电直线的场强,当,方向垂直带电导体向外,当,方向垂直带电导体向里,如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？,思考,解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面,例 均匀带电无限长圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为,(1) r R,(2) r R,若题目告诉的是面密度：,课堂练习： 求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，已知R，,结论：,无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴线上的一个无限长带电直线所产生的电场,例如：均匀带电无限大平面或平板、若干个无限大均匀带电平行平面,3、平面对称分布,求：电
11、荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。,解：a. 对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。,侧面,底面,且 大小相等；,b. 选择高斯面 与平面正交对称的柱面,当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。,扩展,例题 求：电荷面密度分别为1、2两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。,A B C,解：,当1 = - 2,此即带电平板电容器间的场强,结论,此即以后的平行板电容器模型。,一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集中在两个平板之间，在平板外侧无电场。,判断正误,如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为,如果高斯
12、面上场强处处不为，则高斯面内必有电荷,如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为,课堂讨论,q,1立方体边长 a，求,位于一顶点,q,例 如图所示，一厚度 b 无穷大带电平板，体电荷密度为 =kx （0 x b）。求：（1）空间的电场分布；（2）板内何处电场为零。,解:利用无穷大带电平板问题叠加，取厚度为 dx 的薄平面,则面电荷密度为,对点的 P 电场强,1)板内任意点：,2)板外：,向右,向左,例 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体，内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。,解：用补偿法，即腔内无电荷就可看成带有等量的异号电荷。由高斯定理,球体对 P 点的贡献,腔对 P 点的贡献,所以,O O 方向,(1) P点在腔内,腔对 P 点的贡献,所以,O O 方向,(2) P点在腔外,1. 电场线的性质：,(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远) 在无电荷处不间断也不相交，称为有源场。(2) 电场线不闭合，称为无旋场。 故静电场是有源无旋场。,2. 电通量的定义：,3. 高斯定理：,4. 求电场强度的两种方法：,(1) 叠加原理( 带电体大叠加、 点电荷小叠加）,(2) 利用高斯定理(要求带电体系有一定的对称性),小 结：,Thank You !,
