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1、第四章 功和能,4.2 动能定理,4.3 保守力功与势能,4.4 功能原理机械能守恒定律,4.1 功,讨论：力在空间的积累效应功，动能、势能、动能定理、能量守恒定律等。,1 功和功率,一、恒力做功 直线运动,位移无限小时：,dA称为元功,功等于质点受的力和它的位移的点积(标积),A=Fcos S,二、变力做功 曲线运动,如果力是位置(时间）的函数，质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：,元功：,元位移：,在元位移 中将力视为恒力,从a到b，力对质点做功：,在上述力作用下沿曲线由a运动到b,解析式：,质点同时受到N个力作用：,合力 对质点做的功为：,合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的
2、代数和,1）A是标量 但有正负：取决于力与位移的夹角。,2）功是过程量-反映力在空间过程中的积累作用。,3）合力的功为各分力的功的代数和。,4）功与参考系有关。,单位：J 量纲：ML2T2,功的其它单位：1eV=1.610-19J 1erg10-7J,三、功率：,力在单位时间内所作的功,单位：W或Js-1 量纲：ML2T3,解：,例1：某质点在力 的作用下沿x轴做直线运动， 求在从x=0移到x=10m的过程中，力 所做的功。,例2、质量为 2 kg 的质点在 (SI)力,的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。,例3.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力
3、作用在质点上在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位置过程中，力 对它所作的功为多少？,例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩擦系数为 求：两种情况下摩擦力作的功,1）沿圆弧（ab）；2）沿直径（ab）,摩擦力的功与路径有关,解：,一定是负的吗？,2 动能定理,一、质点的动能定理,合外力对物体做功能改变质点的运动，在数量上和功相应的是 这个量的改变。,单位：J 量纲：ML2T2,在一空间过程中，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,定义：Ek=mv2/2 为质点的动能,AAB=EKB-EKA,动能定理,Ek状态量,动能是否依赖于参考系?,1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。2
4、、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。3、动能是质点因运动而具有的做功本领。,二、质点系的动能定理,两个质点组成的质点系： m1 m2,内力：,初速度：,外力：,末速度：,两式相加得：,即：所有外力的功之和所有内力的功之和 系统末动能系统初动能,记作：A外A内EKB - EKA,质点系的动能定理,注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。,上述结论可以推广到任意多个质点组成的质点系,思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？,例：炸弹爆炸,例4、一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数
5、为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？,解：(1)建坐标系如图,负号说明：摩擦力作负功！,(2)对链条应用动能定理：,前已得出：,一对力的功,m1、m2组成一个封闭系统,一对力所做功之和,内力成对出现，属一对作用力反作用力讨论一对力作功之和的特点与计算方法,一对力所做功之和,一对力做功只决定于质点间的相对位移，和参考系的选取无关。,所以可用下述方法计算一对力的功：认为其中一个质点静止以它所在位置为坐标原点，计算另一质点在此坐标系运动时所受的内力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就等于相应的一对力所做的功。,例:
6、 重力的功,中学已使用过这个结论。如：,使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？,一、 保守力,两个质点之间的引力,如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相互作用的质点的始末相对位置，这样一对力就叫保守力。,（一对力的功）,3 保守力的功与势能,保守力沿任意闭合路径做的功必然是零,重力作功,弹性力的功,二、势能,在保守力场，可引入一个只与两质点相对位置有关的函数， 势能函数。,保守力做功与势能的关系,若选末态为势能零点,任意状态A的势能为：,势能零点可根据需要任意选取，对不同的势能零点，势能不同，势能差是一定的。,三.常见的几种保守力和相应的势能,地面为势能零点,1)重力势能,2)弹
7、性势能,以弹簧原长为势能零点,3)万有引力势能,以无限远为势能零点,1、只要有保守力，就可引入相应的势能。2、势能仅有相对意义,计算势能必须规定零势能参考点。,3、保守力所做的功可用相应势能增量的负值来表示，即A保内-（EPBEPA）。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。,例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为 ，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。（从定义出发）,例：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数k=50N/m，其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A，另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环中点B移到另一端C的过程中
8、，弹簧的拉力对小环所做的功为 J,-0.207,提示：,1、质点系的功能原理,质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA因为 A内=A保内A非保内所以 A外+ A保内A非保内= EkB - EkA 又因为 A保内-（ EPBEPA）所以 A外 A非保内 (EkB+EPB )-(EkA +EPA)即 A外 A非保内EB - EA,质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能的增量-功能原理。,4 功能原理 机械能守恒定律,2、机械能守恒定律,A外0,A非保内0,则EB EA常量,如果,在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,3、能量守恒定律,一个
9、封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。,4、守恒定律的特点及其应用,动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：,特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。,碰撞过程：,完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：,动量守恒，动能不守恒,完全弹性碰撞：,动量守恒，动能守恒,第4章结束,如：对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关 （2）质点组总动能的改变与内力无关 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关,在上述说法中：（A）只有（1）是正确的（B）（1）（3）是正确的（C）（1）（2）是正确的（D）（2）（3）是正确的,B,例：对功的概念有以下
10、几种说法：(1)保守力作正功时系统内相应的势能增加.(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零.(3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数合必为零在上述说法中：, C ,(A) (1) 、 (2)是正确的(B) (2) 、 (3)是正确的(C)只有(2)是正确的(D)只有(3)是正确的,B,又如：两质量分别为m1、m2的小球，用一倔强系数为k的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示。今以等值反向的力分别作用于两小球时，若以两小球和弹簧为系统，则系统的,（A）动量守恒，机械能守恒,（B）动量守恒，机械能不守恒,（C）动量不守恒，机械能守恒,（D）动量不守恒，机械
11、能不守恒,D,如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连接此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度w在距孔为R的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体,（A）动能不变，动量改变,（B）动量不变，动能改变,（C）角动量不变，动量不变,（D）角动量不变，动能、动量都改变,例.如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判断下列说法中正确的是,（A）重力和绳子的张力对小球都不作功。,（B）重力和绳子的张力对小球都作功。,（C）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。,（D）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。, A ,练习.一质量为 m 的质点,在半径为
12、R 的半球形容器中,由静止开始自边缘上的 A 点滑下,到达最低点 B 时,它对容器的正压力数值为 N, 则质点自 A 滑到 B 的过程中,摩擦力对其做的功为:, A ,可利用动能定理求解,质量为m的轮船在水中行驶，停机时的速度大小为v0，水的阻力为kv（k为常数），求停机后轮船滑行L距离的过程中水的阻力作的功？,功的定义式或动能定理,作业：P13 3,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）。求： 1）小球飞离大物体时球和槽的速度各是多少？ 2）求下滑的过程当中，物体对槽做的功。,1）水平方向动量守恒机械能
13、守恒,槽对物体做的功？,例:质量为m的小块物体，置于一光滑水平桌面上。有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）。该物体原以角速度 在距孔 的圆周上转动。今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体的转动半径由 减少为 。向下拉的速度为v，求下拉过程中拉力所做的功。,解：由角动量守恒,由质点的动能定理,小球对桌面的总速度,光滑水平面上有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m，弹簧一端固定在O点，另一端拴一个质量为1kg的物体，弹簧初始时处于自然长度为l0=0.2m，物体速度为v05m/s方向与弹簧垂直，以后某一时刻，弹簧长度l=0.5m，求该时刻物体的速度大小，以及速度与l方向的夹角,机械能守
14、恒角动量守恒,4. 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向框架质量为200g自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦,作业册 P14 4,物体在槽内上下可动，重力只对圆柱做功,例：两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为l/2时，两质点的速度各为多少？,解： 系统的动量和机械能均守恒,三章作业 P9 2,例：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为l0，将它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变为l2，则由l1伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做的功为（以弹簧原长处为坐标原点）,C,已知l长的绳端拴一质量m的小球(另一端固定在o点)，自水平位置由静止释放。求球摆下 角时，球的速度。,o,l,T,m,mg,（利用动能定理重解该题）,A,B,对小球应用动能定理,解得：,
