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1、第七章,本章内容,第一节,简谐波的基本概念和规律,机械振动,机械振动： 物体在它的平衡位置附近作往复运动,动画,一个复杂的振动，可以由一些简单形式的振动来合成,动画用图,掌握简单形式振动的基本规律，是研究复杂振动的基础,动力学方程,动力学方程,微分形式,微分方程,弹簧振子,简谐运动的运动学方程,1.弹簧振子及其运动分析,动画,O,x,A,A,例,O,x,A,A,例如,运动方程,振动曲线,特征参量,1.,2.,振幅、角频率,初相,3.,相位,相位,相位差,2.相位差,取决于初相差,计算方法,例,矢量图法,振幅矢量, 质点的投影点在轴上做简谐振动,三、简谐运动的几何描述旋转矢量表示法,旋转矢量,矢
2、量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标,周期 T,循环往复,例,例,看图写方程,由旋转矢量法，知,例,例4-4 物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0 s，t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求 (1) t=0.5s时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到x=5cm处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?,解,由已知条件，该谐振动在t=0时刻的旋转矢量位置如图所示.由图及初始条件可知,由于,所以,该物体的振动方程为,(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为,(2) 当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量从初始位置转
3、过的角度为，如图所示，所以有,即,(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过,振动能量,谐振子能量,简谐运动能量守恒，振幅不变,续上,能量表达式,例,书例8,第三节,第三节,振动合成,振动合成,同向同频合成,同向同频,合成振幅,合振幅,例,书例9,例,书例11,第一节,机械波的产生及其特征量,机械波的产生,横波,软绳,软绳,抖动一下，产生一个脉冲横波,连续抖动，产生连续横波,横波与纵波,动画,纵波,抽送一下，产生一个脉冲纵波,软弹簧,软弹簧,连续抽送，产生连续纵波,动画,机械波传播特征,波长周期波速,二、描述波的特征量,几何描述,第一节,平面简谐波,平面简谐波,平面简谐波,正向波,
4、x,动画,波函数,波函数是时间和空间双重变量的周期函数,三种表达式,负向波,一般形式,三、平面简谐波函数的一般形式,例,波函数比较法,cos,(,),y,A,w,t,u,x,正向波,+,+,反向波,0,例,说明X-d点的相位比x点的相位落后,例,物理意义,例,由某时刻的波形图求波动函数,例,直接法,由某时刻的波形图求波动函数,两点的相位差为其初相位差：,两点的波程差为：,在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：,相位差和波程差,1 波的能量,波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹性势能的总和即为该质元含有的波的
5、能量.,在波线上坐标为x处取一个体积元V，其质量dm=V,该体积元的振动速度为,设平面简谐波为,波的能量和能流,（了解）,该体积元V的动能为,可以证明，因为介质形变，体积元V的势能与动能相等,在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大平衡位置，同时最小（为零）最大位移处。,体积元V的机械能为,单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度 。,能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度 。,2 波的能流,单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P表示。,能流密度：,对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度，以I表示。又称波的强度
6、。,在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为Wm-2,3 波的振幅,在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的.,对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度分别为I1,I2. 由于S1S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有,所以,从而,对球面波,由此可写出球面简谐波的波动方程,其中 号表示波的传播方向。,第一节,波的传播,在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经t时间后形成半径为ut(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子
7、波波面的包迹就是t+t时刻的新波面.这就是惠更斯原理.,一、惠更斯原理,反射线与入射线和界面法线位于同一平面内，并且入射线与法线的夹角(入射角)等于反射线与法线的夹角(反射角).这就是波的反射定律.,1 波的反射,用惠更斯原理证明反射定律,波的反射定律,二、波的反射与折射,用惠更斯原理证明反射定律,设平面波AB以波速v入射到两种介质1和2的分界面MN上.在不同时刻，波前的位置分别为AB， CC， DD， EE，.,由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB，CC=CB，DD=DB，EE=EB ，.中心在A，C，D，E，的一组圆柱面的包迹AB就是反射波的波前.,当振动由点B传至点B，由C，
8、传至B时，在点A，C，D，E，发出的次波分别通过了由半径AA，CC，DD，EE，所决定的距离.,2 波的折射,用惠更斯原理证明折射定律,波的折射定律,当波在第一种介质中通过距离BB时，波在同一时间内将在另一种介质中通过距离AA.二者之比应等于波在两种介质中的波速u1、u2之比，即有,用惠更斯原理证明折射定律,因为,所以,波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物的现象.,三、波的衍射,障碍物的小孔成为新的波源,第一节,波的干涉 驻波,实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互不影响，这称为波传播的独立性.,在几
9、列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.,1 波传播的独立性,2 波的叠加原理,一、波的叠加原理,波叠加原理,动画,过程分解,过程分解,两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。,波的相干条件,二、波的干涉,P点的合振动为,P点的合振动为,其中,其中两个分振动的相位差为,由于 的值是由波源决定的，且对空间各点此值都相同，故可令其为零，从而有,1）当 时，即,合振幅最大，振动最大加强,波程差,2）当 时，即,合振幅最
10、小，振动最大减弱,波程差,3)其他波程差,合振幅最大，振动最大加强,1）波程差,合振幅最小，振动最大减弱,2)波程差,对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速u的乘积u 较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。,当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和波速u 的乘积决定的。,四、半波损失,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。,驻波的规律在声学(包括音乐)、无线电学、光学(包括激光)等学科中都有着重要的应用.往往可以利用驻波测量波长或系统的振动频率.,
